Có bao nhiêu cặp số nguyên (x,y) thoả mãn 2<= x <= 2021 và 2 mũ y - 2 log2 ( x+2mũ (y-1)) = 2x -y

Đáp án:

 `10` cặp

Giải thích các bước giải:

Sửa đề: $2^y - \log_2(x + 2^{y-1}) = 2x - y\qquad (*)$

$x + 2^{y-1} > 0\quad \forall x\in [2;2021]; y\in\Bbb R$

$(*) \Leftrightarrow 2^y + y = 2x + \log_2(x + 2^{y-1})$

$\Leftrightarrow 2.2^y + y = 2x + 2^y + \log_2(x + 2^{y-1})$

$\Leftrightarrow 2.2^y + \log_22^y = 2(x + 2^{y-1}) + \log_2(x + 2^{y-1})\qquad (**)$

Xét $f(t) = 2t + \log_2t,\ \ t >0$

$\Rightarrow f'(t) = 2 + \dfrac{1}{2\ln2} >0\quad \forall t >0$

$\Rightarrow f(t)$ đồng biến trên $(0;+\infty)$

Do đó:

$(**)\Leftrightarrow f(2^y) = f(x + 2^{y-1})$

$\Leftrightarrow 2^y = x + 2^{y-1}$

$\Leftrightarrow x = 2^{y-1}$

$\Leftrightarrow \log_2x = y - 1$

Ta có:

$\quad 2 \leqslant x \leqslant 2021$

$\Leftrightarrow 1 \leqslant \log_2x \leqslant 2021$

Ta lại có:

$y\in \Bbb Z \Rightarrow \log_2x \in\Bbb Z$

Do đó:

$\log_2x \in \underbrace{\{1;2;3;\cdots;10\}}_{\text{$10$ giá trị $\log_2x$}}$

Với mỗi giá trị của $\log_2x$ ta tìm được một cặp giá trị $(x;y)$ tương ứng

Vậy có `10` cặp số nguyên $(x;y)$ thỏa mãn yêu cầu bài toán