Có bao giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng (-20;20) để hàm số $\frac{1}{3}$ $x^{2}$ -2$x^{2}$ +(m+1)x-2 đồng biến trên khoảng (1;+∞)

Đáp án:

$17 \, m$

Giải thích các bước giải:

$y = \dfrac{1}{3}x^3 - 2x^2 + (m +1)x - 2$

$TXD: D = \Bbb R$

$y' = x^2 - 4x + m + 1$

Hàm số đồng biến trên $(1;+\infty)$

$\Leftrightarrow y' \geq 0, \, \forall x \in (1;+\infty)$

$\Leftrightarrow x^2 - 4x + m + 1 \geq 0, \, \forall x \in (1;+\infty)$

$\Leftrightarrow m \geq -x^2 + 4x - 1, \, \forall x \in (1;+\infty)$

$\Leftrightarrow m \geq \mathop{\max}\limits_{x \in (1;+\infty)}(-x^2 + 4x -1)$

Đặt $g(x) = - x^2 + 4x -1$

$\Rightarrow g'(x) = -2x + 4$

$g'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 2$

Xét bảng biến thiên của $g(x) $ trên $(1;+\infty)$

Ta được: $\max g(x) = g(2) = 3$

$\Rightarrow m \geq 3$

Do $-20 < m < 20, \, m \in \Bbb Z$

nên $m = \underbrace{\left\{3;4;5;\dots;17;18;19\right\}}_{\text{17 giá trị m}}$