Có ba hộp đựng cam. Hộp I đựng 10 quả tốt và 4 quả hỏng, hộp II đựng 15 quả tốt và 3 quả hỏng, hộp III đựng 12 quả tốt và 3 quả hỏng. Chọn ngẫu nhiên một hộp rồi từ hộp đó lấy ra 2 quả cam.

a) Tìm xác suất để hai quả lấy ra có 1 quả tốt và 1 quả hỏng.

b) Biết rằng trong 2 quả lấy ra có đúng 1 quả hỏng, tìm xác suất để hai quả này thuộc hộp I.

Gọi $A_1,A_2, A_3$ lần lượt là biến cố chọn được hộp $I$, hộp $II$ và hộp $III$

$\Rightarrow P(A_1)= P(A_2) = P(A_3)=\dfrac13$

$\Rightarrow \{A_1,A_2,A_3\}$ là một hệ đầy đủ

Gọi $B$ là biến cố lấy được $1$ quả tốt và một quả hỏng

$\Rightarrow \begin{cases}P(B/A_1)=\dfrac{C_{10}^1.C_4^1}{C_{14}^2}= \dfrac{40}{91}\\P(B/A_2)=\dfrac{C_{15}^1.C_3^1}{C_{18}^2}=\dfrac{5}{17}\\P(B/A_3)=\dfrac{C_{12}^1.C_3^1}{C_{15}^2}=\dfrac{12}{35}\end{cases}$

a) Xác suất lấy được $1$ quả tốt và một quả hỏng:

$P(B)= P(A_1).P(B/A_1) + P(A_2).P(B/A_2) + P(A_3).P(B/A_3)$

$\qquad\ = \dfrac13\cdot \dfrac{40}{91} +\dfrac13\cdot \dfrac{5}{17}+\dfrac13\cdot \dfrac{12}{35}$

$\qquad\ =\dfrac{8327}{23205}$

b) Xác suất $1$ quả tốt và $1$ quả hỏng lấy ra từ hộp $I:$

$P(A_1/B)=\dfrac{P(A_1).P(B/A_1)}{P(B)}$

$\qquad\quad =\dfrac{\dfrac13\cdot \dfrac{40}{91}}{\dfrac{8327}{23205}}$

$\qquad\quad = \dfrac{3400}{8327}$