Có 100 quả táo, chia vào 50 túi sao cho mỗi túi có ít nhất 1 quả. Chứng minh rằng nếu không có túi nào nhiều hơn 50 quả thì các túi có thể chia thành 2 nhóm thỏa mãn mỗi nhóm có 50 quả.

Ký hiệu số quả táo có trong mỗi túi là ti, i = 1, 2, . . . , 50.

Theo bài  ta có 1 ≤ ti ≤ 50 (1)

Và t1 + t2 + · · · + t50 = 100.
Vậy nếu ti = 2

với mọi i ta có được cách chia 50 túi thành 2 nhóm theođiều kiện bài ra:

mỗi nhóm 25 túi.
Nếu có ít ra 2 số ti, tj khác nhau

chẳng hạn là t1 và t2, ta xét 51 số sau:

t1, t2, t1 + t2, t1 + t2 + t3, . . . , t1 + t2 + · · · + t50
⇒Ta thấy rằng:  51 số đều khác nhau và mỗi số đều trong khoảng từ 1
tới 100.

⇒Có 2 số có cùng số dư khi chia cho 50, hay hiệu của số lớn và
số nhỏ đúng bằng 50. Hai số đó không thể là t1 và t2 vì hiệu của t1 và t2
không thể bằng 50 (do (1)).

Vậy trong 2 số có ít ra một số mới, suy ra hiệu của chúng là tổng một số các ti, và chúng tạo thành một nhóm có tổng đúng bằng 50.

Chúc bạn học tốt