Chứng minh rằng hàm số y=căn của|x| không có đạo hàm tại x=0 nhưng vẫn đạt cực tiểu tại điểm đó.

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Điều kiện để hàm số $y=\sqrt{x}$ có đạo hàm là x>0

Nên tại x=0 thì hàm số $y=\sqrt{|x|}$ không có đạo hàm

Mà |x|>=0 nên $y=\sqrt{|x|>=0}$ nên hàm số có cực tiểu là y=0 khi x=0

Đáp án:

*) Chứng minh hàm số không có đạo hàm tại điểm x=0:

y=f(x)=|x|−−√={x−−√khix≥0−x−−−√khix<0limx→0+f(x)−f(0)x−0=limx→0+x√x=limx→0+1x√=+∞limx→0−f(x)−f(0)x−0=limx→0−−x√x=limx→0−−x√−(−x√)2=limx→0−−1−x√=−∞⇒limx→0+f(x)−f(0)x−0≠limx→0−f(x)−f(0)x−0

⇒ Không tồn tại đạo hàm của hàm số đã cho tại x=0.

*) Chứng minh hàm số đạt cực tiểu tại x=0 :

Với h>0 là một số thực bất kì ta có:

f(x)=|x|−−√≥0∀x∈(−h;h)f(0)=0⇒f(x)≥f(0)∀x∈(−h;h)

Theo định nghĩa điểm cực trị của hàm số ta kết luận x=0 là điểm cực tiểu của hàm số y=f(x)=|x|−−√.

Giải thích các bước giải:

Tham khảo bài 3 trang 18 SGK Giải tích 12: Chuyên đề ứng dụng đạo hàm