Chóp SABCS có các mặt bên tạo với mặt đáy góc α . Hình chiếu của S thuộc mặt đáy AB=3a, BC = 4a, AC=5a. Tính Vsabc

Đáp án:

$V_{S.ABC}= 2a^3\tan\alpha$

Giải thích các bước giải:

Dễ dàng nhận thấy: $AC^2 = AB^2 + BC^2$

$\Rightarrow \triangle ABC$ vuông tại $B$

Ta có:

Các mặt bên cùng tạo với đáy một góc $\alpha$

$\Rightarrow$ Hình chiếu của $S$ lên $(ABC)$ là tâm đường tròn nội tiếp $\triangle ABC$

Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp

Kẻ $IH\perp AC$

$\Rightarrow IH = r$

$\Rightarrow IH = \dfrac{S_{ABC}}{p_{ABC}}=\dfrac{\dfrac12AB.BC}{\dfrac{AB + AC + BC}{2}}$

$\Rightarrow IH = \dfrac{3a.4a}{3a+4a+5a}= a$

Ta có:

$\begin{cases}IH\perp AC\\SI\perp AC\end{cases}$

$\Rightarrow AC\perp (SHI)$

$\Rightarrow AC\perp SH$

Khi đó:

$\begin{cases}(SAC)\cap (ABC)= AC\\SH\perp AC\\SH\subset (SAC)\\IH\perp AC\\IH\subset (ABC)\end{cases}$

$\Rightarrow \widehat{((SAC);(ABC))}=\widehat{SHI}=\alpha$

$\Rightarrow SI = IH.\tan\alpha = a.\tan\alpha$

Ta được:

$V_{S.ABC}=\dfrac13S_{ABC}.SI = \dfrac13\cdot 6a^2\cdot a.\tan\alpha$

$\Leftrightarrow V_{S.ABC}= 2a^3\tan\alpha$

Có $AB^2+BC^2=AC^2$

$\to \Delta ABC$ vuông tại $B$

$\to S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AB.BC=6a^2$

Mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau nên khoảng cách từ hình chiếu $H$ của $S$ trên đáy đến các cạnh đáy là bằng nhau 

$\to H$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác đáy 

$\to r=\dfrac{AB+BC-AC}{2}=a$

$\to SH=a\tan\alpha$

Vậy $V=\dfrac{1}{3}.6a^2a\tan\alpha=2a^3\tan\alpha$