Cho $z_{1}$ ,$z_{2}$ là hai số phức liên hợp của nhau đồng thời thỏa mãn $\frac{z_{1} }{z_{2}^{2}}$∈$R$ và |$z_{1}$-$z_{2}$|=$2\sqrt{3}$ .Tính môđun của số phức $z_{1}$

Đáp án:

$|z_1| = 2$

Giải thích các bước giải:

Gọi $z_1 = a + bi\ \ (a;b\in\Bbb R)$

$\Rightarrow z_2 = \overline{z_1} = a - bi$

Ta có:

$+)\quad |z_1 - z_2| = 2\sqrt3$

$\Leftrightarrow |2bi| = 2\sqrt3$

$\Leftrightarrow |b| = \sqrt3$

$\Leftrightarrow b^2 = 3$

$\Rightarrow b = \pm \sqrt3$

$+)\quad \dfrac{z_1}{z_2^2}$

$= \dfrac{a+bi}{(a-bi)^2}$

$= \dfrac{a+bi}{a^2 - b^2 - 2abi}$

$= \dfrac{a^3 - 3ab^2 + (a^2b - b^3 + 2a^2b)i}{(a^2 - b^2)^2 + 4a^2b^2}$

$\dfrac{z_1}{z_2^2} \in \Bbb R \Leftrightarrow a^2b - b^3 + 2a^2b = 0$

Với $b = \sqrt3 \Rightarrow a^2\sqrt3 - 3\sqrt3 + 2a^2\sqrt3 = 0 \Leftrightarrow a^2 = 1$

Với $b = -\sqrt3 \Rightarrow - a^2\sqrt3 + 3\sqrt3 - 2a^2\sqrt3 = 0 \Leftrightarrow a^2 = 1$

Khi đó:

$|z_1| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1 + 3} = 2$