cho y = x ³ -3mx +1 ,tìm m để hs có cực trị B và C sao cho tam giác ABC cân tại A biết A(2,3)

Đáp án:

$m = \dfrac12$

Giải thích các bước giải:

$\quad y = x^3 - 3mx + 1$

$\Rightarrow y' = 3x^2 - 3m$

$y' = 0 \Leftrightarrow x^2 = m\qquad (*)$

Hàm số có hai cực trị $\Leftrightarrow m >0$

Khi đó: $(*) \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = -\sqrt m \Rightarrow y = 2m\sqrt m + 1\\x = \sqrt m\ \Rightarrow y = -2m\sqrt m + 1\end{array}\right.$

Đặt $B\left(-\sqrt m;2m\sqrt m + 1\right);\ C\left(\sqrt m;-2m\sqrt m + 1\right)$

$\Rightarrow \begin{cases}\overrightarrow{AB} = \left(-\sqrt m - 2;2m\sqrt m - 2\right)\\\overrightarrow{AC} = \left(\sqrt m- 2;-2m\sqrt m - 2\right)\end{cases}$

$\triangle ABC$ cân tại $A$

$\Leftrightarrow AB = AC$

$\Leftrightarrow AB^2 = AC^2$

$\Leftrightarrow \left(\sqrt m + 2\right)^2 + \left(2m\sqrt m - 2\right)^2 = \left(\sqrt m - 2\right)^2 + \left(2m\sqrt m + 2\right)^2$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m = 0\quad\ (l)\\m = \dfrac12\quad (n)\end{array}\right.$

Vậy $m=  \dfrac12$