cho y=(3m-1)x+6m+3 cắt y= $x^{3}$ -3$x^{2}$ +1 tại 3 điểm phân biệt sao cho 1 điểm cách đều 2 điểm còn lại

Đáp án:

$ m= \frac{-1}{3}$

Giải thích các bước giải:

 yêu cầu bài toán $\Longleftrightarrow $ pt $x^3-3 x^2+1$ $=$ (3m-1)x+6m+3 có 3 nghiệm phân biệt $x_1$ , $x_2$ , $x_3$  với   $x_1$+$ x_3$=2 $x_2$

$\Longleftrightarrow $ đồ thị hàm số y=$x^3-3 x^2-(3m-1)x-6m-2$ có điểm uốn thuộc trục hoành 

$y'=3 x^2-6x-(3m-1)$

$y''=6x-6$

$y''=0 \Longleftrightarrow x=1$

+) điểm uốn thuộc trục hoành 

$\Longleftrightarrow y(1)=0$

$\Longleftrightarrow 1-3-(3m-1)-6m-2=0$

$\Longleftrightarrow  m= \frac{-1}{3}$

Thử lại khi $ m= \frac{-1}{3}$ :

$y=x^3-3 x^2+2x$ =0  $\Longleftrightarrow$ x=0 , x=1 , x=2 (thỏa mãn ) 

vậy $ m= \frac{-1}{3}$ thỏa mãn

PTHĐGĐ:

$x^3-3x^2+1=(3m-1)x+6m+3$

$\Leftrightarrow x^3-3x^2-(3m-1)x-6m-2=0$

$\to y=0$ cắt $y=f(x)=x^3-3x^2-(3m-1)x-6m-2$ tại ba điểm phân biệt, một điểm cách đều hai điểm còn lại 

$\to$ điểm uốn $f(x)$ thuộc trục hoành 

$f'(x)=3x^2-6x-(3m-1)$

$f''(x)=6x-6$

$f''(x)=0\to x=1$

$\to$ ĐK: $f(1)=0$

$\to 1-3-3m+1-6m-2=0$

$\to m=\dfrac{-1}{3}$