Cho y=1/3x^3 -mx^2+(m+2)x-m^2+1 Tìm m để hàm số nghịch biến trên (-2;0) Ai giúp mình với

Đáp án:

 `m<= -2`

Giải thích các bước giải:

 C1:

`y=1/3 x^3-mx^2+(m+2)x-m^2+1`

TXĐ : `D=RR`

`->y'=x^2-2mx+m+2`

Hàm số nghịch biến `//(-2;0)<=>y'<=0∀x∈(-2;0)`

`<=>x^2-2mx+m+2≤0∀x∈(-2;0)`

`<=>x^2+2≤2mx-m∀x∈(-2;0)`

`<=>x^2+2≤m.(2x-1)∀x∈(-2;0)`

`<=>(x^2+2)/(2x-1)≥m∀x∈(-2;0)(\text( Vì: )x∈(-2;0)->2x≤0->2x-1≤-1<0)`

`<=>m≤ min ((x^2+2)/(2x-1))_([-2;0])`

Đặt `f(x)=(x^2+2)/(2x-1)`

`->f'(x)=((x^2+2)'.(2x-1)-(x^2+2).(2x-1)')/((2x-1)^2)`

`->f'(x)=(2x.(2x-1)-(x^2+2).2)/((2x-1)^2)`

`->f'(x)=(2x^2-2x-4)/((2x-1)^2)`

`f'(x)=0<=>2x^2-2x-4=0`\(\left[ \begin{array}{l}x=2\\x=-1\end{array} \right.\) 

Bảng Biến Thiên: ( hình)

Từ BBT `->f(x)_{min}=-2`

`->m<= -2`

________________________________

C2:

Hàm số nghịch biến `//(-2;0)<=>y'<=0∀x∈(-2;0)`

Đặt `f(x)=x^2-2mx+m+2`

Đk : $\begin{cases} af(-2)≤0\\af(0)≤0 \end{cases}$

`<=>`$\begin{cases} 5m+6≤0\\m+2≤0 \end{cases}$

`<=>`$\begin{cases} m≤\dfrac{-6}{5}\\m≤-2 \end{cases}$

`->m≤-2`

Vậy `m<= -2` thì hàm số nghịch biến `//(-2;0)`