Cho x,y thỏa mãn `8x^2+1/(4x^2)+y^2=6` tìm GTNN của `P=xy`

Đáp án:

${{\min }_{xy}}=\dfrac{-\sqrt{14}}{4}\Leftrightarrow \left( x;y \right)=\left( \dfrac{\sqrt{6}}{4};-\dfrac{\sqrt{21}}{3} \right);\left( -\dfrac{\sqrt{6}}{4};\dfrac{\sqrt{21}}{3} \right)$

Giải thích các bước giải: Gửi cháu

$8{{x}^{2}}+\dfrac{1}{4{{x}^{2}}}+{{y}^{2}}=6$

$\Leftrightarrow 8{{x}^{4}}+\dfrac{1}{4}+{{x}^{2}}{{y}^{2}}=6{{x}^{2}}$

$\Leftrightarrow {{x}^{2}}{{y}^{2}}=-8{{x}^{4}}+6{{x}^{2}}-\dfrac{1}{4}$

$\Leftrightarrow {{x}^{2}}{{y}^{2}}=-\left( 8{{x}^{4}}-6{{x}^{2}}+\dfrac{9}{8} \right)+\dfrac{7}{8}$

$\Leftrightarrow {{x}^{2}}{{y}^{2}}=-{{\left( 2{{x}^{2}}\sqrt{2}-\dfrac{3\sqrt{2}}{4} \right)}^{2}}+\dfrac{7}{8}$

$\Leftrightarrow {{x}^{2}}{{y}^{2}}\le \dfrac{7}{8}$

$\Leftrightarrow -\dfrac{\sqrt{14}}{4}\le xy\le \dfrac{\sqrt{14}}{4}$

$\Leftrightarrow {{\min }_{xy}}=-\dfrac{\sqrt{14}}{4}$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}\sqrt{2}=\dfrac{3\sqrt{2}}{4}$

$\Leftrightarrow {{x}^{2}}=\dfrac{3}{8}$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{\sqrt{6}}{4}$   hoặc   $x=-\dfrac{\sqrt{6}}{4}$

Với $x=\dfrac{\sqrt{6}}{4}$, tìm được $y=-\dfrac{\sqrt{21}}{3}$

Với $x=-\dfrac{\sqrt{6}}{4}$, tìm được $y=\dfrac{\sqrt{21}}{3}$

Vậy ${{\min }_{xy}}=\dfrac{-\sqrt{14}}{4}\Leftrightarrow \left( x;y \right)=\left( \dfrac{\sqrt{6}}{4};-\dfrac{\sqrt{21}}{3} \right);\left( -\dfrac{\sqrt{6}}{4};\dfrac{\sqrt{21}}{3} \right)$