Cho x,y là các số thực thỏa mãn điều kiện y ≤ 0, x^2+x-y-12=0. Tìm GTNN của biểu thức P=xy+x+2y+17
2 câu trả lời
Đáp án:
$P_{\min}=-12$ tại $(x;y)=(1;-10)$
Giải thích các bước giải:
Theo đề bài ta có: `y=x^2+x-12≤0⇔x∈[-4;3]`
Khi đó: `P=x(x^2+x-12)+x+(x^2+x-12)+17=x^3+3x^2-9x-7`
Xét hàm số: `f(x)=x^3+3x^2-9x-7,x∈[-4;3]`
Ta có: `f'(x)=3x^2+6x-9=0⇔` \(\left[ \begin{array}{l}x=-3\\x=1\end{array} \right.\)
Ta có: $f(-4)=13,f(3)=20,f(1)=-12,f(-3)=20$
`⇒ ``min_[[-4;3]]f(x)=f(1)=-12`
Vậy GTNN của `P` bằng $-12$ đạt được tại $(x;y)=(1;-10)$
$\,\,\,\,\,\,\,\,{{x}^{2}}+x-y-12=0$
$\to y={{x}^{2}}+x-12$
$P=xy+x+2y+17$
$P=x\left( {{x}^{2}}+x-12 \right)+x+2\left( {{x}^{2}}+x-12 \right)+17$
$P={{x}^{3}}+{{x}^{2}}-12x+x+2{{x}^{2}}+2x-24+17$
$P={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-9x-7$
$P'=3{{x}^{2}}+6x-9$
$P'=0\Leftrightarrow$\(\left[ \begin{array}{l}x=1\\x=-3\end{array} \right.\)
$P\left( 1 \right)=-12$
$P\left( -3 \right)=20$
Vậy Giá trị nhỏ nhất của $P$ là $-12$ tại $\begin{cases}x=1\\y=-10\end{cases}$
Câu hỏi trong lớp
Xem thêm
