Cho x=1+ $\sqrt[3]{2}$ + $\sqrt[3]{4}$ . Tính giá trị của P= $x^{5}$ - $4x^{4}$ + $x^{3}$ - $x^{2}$ -2x+2019 Giúp mình với mai nộp rồi

Đáp án: $P=2020$

Giải thích các bước giải:

Từ: $x=1+\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}$

$\Rightarrow x-1=\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}$

$\Rightarrow {{\left( x-1 \right)}^{3}}={{\left( \sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4} \right)}^{3}}$

$\Rightarrow {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+3x-1={{\left( \sqrt[3]{2} \right)}^{3}}+{{\left( \sqrt[3]{4} \right)}^{3}}+3.\sqrt[3]{2}.\sqrt[3]{4}\left( \sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4} \right)$

$\Rightarrow {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+3x-1=2+4+6\left( x-1 \right)$

$\Rightarrow {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-3x-1=0$

Do ${{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-3x-1=0$

$\Rightarrow {{x}^{2}}\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-3x-1 \right)=0$

$\Rightarrow {{x}^{5}}-3{{x}^{4}}-3{{x}^{3}}-{{x}^{2}}=0\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$

Do ${{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-3x-1=0$

$\Rightarrow \left( x-1 \right)\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-3x-1 \right)=0$

$\Rightarrow {{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+2x+1=0\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$

Lấy $\left( 1 \right)-\left( 2 \right)$:

Ta được: ${{x}^{5}}-4{{x}^{4}}+{{x}^{3}}-{{x}^{2}}-2x-1=0$

$\Rightarrow {{x}^{5}}-4{{x}^{3}}+{{x}^{3}}-{{x}^{2}}-2x+2019=2020$

$\Rightarrow P=2020$