Cho tứ giác ABCD có các góc đối bù nhau. Biết rằng các đường thẳng AD và BC cắt nhau tại E, các đường thẳng AB và CD cắt nhau tại F. Tia phân giác của hai góc CED và AFD cắt nhau tại M. Chứng minh FM vuông góc với EM . làm ơn giúp m với, m cảm ơn

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Gọi I, K lần lượt là giao điểm của EM với AB và DC.

Ta có : \(\widehat {FIK} = \widehat {{CEK}} + \widehat {{CDE}}\) (góc ngoài của \(\Delta EIB\)) 

            \(\widehat {FKI} = \widehat {{KED}} + \widehat D\)(góc ngoài của \(\Delta EKD\) )

Mà \(\widehat {{CEK}} = \widehat {{KED}}\) (giả thiết)

\(\widehat {{EBI}} = \widehat D\) (cùng bù với \(\widehat {ABC}\) )

\( \Rightarrow \widehat {FIK}\) cân tại F.

Trong tam giác cân FIK có FM là phân giác nên FM cũng là đường cao.

Suy ra \(FM \bot IK\) hay \(FM \bot EM.\)

Ta có: $\widehat{A_3}=\widehat{A_1}=180^o-\widehat{A_2}$

$\widehat F+\widehat {A_3}+\widehat{D_1}=180^o$

$\Rightarrow\widehat F+\widehat {A_3}+(\widehat E+\widehat C)=180^o$

$\Rightarrow \widehat F+\widehat E=180^o-\widehat {A_3}-\widehat C$

$=180^o-(180^o-\widehat{A_2})-\widehat C$

$=\widehat {A_2}-\widehat C$

$\Rightarrow\dfrac{\widehat F+\widehat E}{2}=\widehat {F_2}+\widehat{E_2}=\dfrac{\widehat{A_2}-\widehat C}2$(1)

$\widehat{M_1}=\widehat{E_2}+\widehat{G_1}$

$=\widehat{E_2}+(\widehat{F_2}+\widehat C)$

Thay (1) vào phương trình ta có:

$\widehat {M_1}=\dfrac{1}{2}(\widehat{A_2}-\widehat C)+\widehat C$

$=\dfrac{1}{2}(\widehat{A_2}+\widehat C)$

$=\dfrac{1}{2}180^o$ (do tứ giác $ABCD$ có các góc đối bù nhau)

$=90^o$

$\Rightarrow FM\bot EM$ (đpcm).