Cho tứ diện đều ABCD. Gọi H là hình chiếu của A lên (BCD) và O là trung điểm AH. Chứng minh các mp (OBC), (OCD), (OBD) đôi một vuông góc với nhau.

Đáp án:

Giải thích các bước giải: Đặt \(BC = CD = DB = a\) suy ra \(\begin{array}{l}DE = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow DH = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\\ \Rightarrow AH = \sqrt {A{D^2} - D{H^2}} = \sqrt {{a^2} - \frac{{3{a^2}}}{9}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3} \Rightarrow OH = \frac{{a\sqrt 6 }}{6}\\ \Rightarrow OD = \sqrt {O{H^2} + D{H^2}} = \sqrt {\frac{{6{a^2}}}{{36}} + \frac{{3{a^2}}}{9}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\\ \Rightarrow OB = OC = OD = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\end{array}\) Xét tam giác \(ODB\) có \(OB = OD = \frac{{a\sqrt 2 }}{2},BD = a \Rightarrow \Delta ODB\) vuông cân tại \(O\). Tương tự \(OBC,OCD\) vuông cân tại \(O\). Vậy \(OB,OC,OD\) đôi một vuông góc. Suy ra \(\widehat {\left( {\left( {OBC} \right),\left( {OCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {OB,OD} \right)} = {90^0}\) và hai cặp mặt phẳng còn lại cũng chứng minh tương tự.