Cho tứ diện đều ABCD có độ dài các cạnh đều bằng a. Gọi I là trung điểm của AD; J là điểm đối xứng với D qua C; K là điểm đối xứng với D qua B. Tính diện tích thiết diện tạo bởi (IJK) vớ tứ diện.

Trong `(ABD)`, nối `IK∩AB=M`

Trong `(ACD)`, nối `IJ∩AC=N`

`(IJK)` cắt các mặt tứ diện lần lượt theo các giao tuyến:

`(IJK)∩(ABD)=IM`

`(IJK)∩(ABC)=MN`

`(IJK)∩(ACD)=NI`

Vậy thiết diện của tứ diện khi cắt bởi `(IJK)` là tam giác `IMN`

Xét `ΔADK`, `M` là trọng tâm nên `\frac{AM}{AB}=2/3` $(1)$

Xét `ΔADJ`, `N` là trọng tâm nên `\frac{AN}{AC}=2/3` $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $MN//BC$ nên:

`\frac{MN}{BC}=\frac{AM}{AB}=2/3⇒MN=2/3BC=(2a)/3`

Áp dụng định lí hàm số cosin trong `ΔAMI` ta có:

`IM=sqrt(AI^2+AM^2-2.AI.AM.cos\hat{IAM} )`

`=sqrt((a/2)^2+((2a)/3)^2-2.a/2.(2a)/3.cos60^o)=(asqrt13)/6`

Áp dụng định lí hàm số cosin trong `ΔANI` ta có:

`IN=sqrt(AI^2+AN^2-2.AI.AN.cos\hat{IAN} )`

`=sqrt((a/2)^2+((2a)/3)^2-2.a/2.(2a)/3.cos60^o)=(asqrt13)/6`

`⇒IM=IN`. Do đó `ΔIMN` cân tại `I`

Gọi `H ` là trung điểm `MN`. Suy ra $IH\perp MN$

`S_(ΔIMN)=1/2MN.IH=1/2MN.sqrt(IM^2-MH^2)`

`=1/2.(2a)/3.sqrt((\frac{asqrt13}{6})^2-(a/3)^2``=a^2/6`