Cho tứ diện đều ABCD. Cạnh a. a.tính bán kinh mặt cầu ngoại tiếp ABCD b. Tính diện tích và thể tích mặt cầu.

Đáp án:

 a) \( \dfrac{{a\sqrt 6 }}{4}\)

b) \( S=\dfrac{{3{a^2}}}{3}\)

\(V = \dfrac{{\pi {a^3}\sqrt 6 }}{8}\)

Giải thích các bước giải:

Gọi G là tâm tam giác BCD, \(AG \bot \left( {BCD} \right)\) nên AG là trục đường tròn đáy.

a) Gọi M là trung điểm của AB.

Trong (ABG), kẻ đường thẳng trung trực của AB cắt AG tại O thì O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.

Có \(BG = \dfrac{2}{3}BE = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\) \( \Rightarrow AG = \sqrt {A{B^2} - A{G^2}}  = \sqrt {{a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{3}}  = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\)

\(\Delta AMO \sim \Delta AGB \Rightarrow \dfrac{{AM}}{{AG}} = \dfrac{{AO}}{{AB}}\) \( \Leftrightarrow AO = \dfrac{{AM.AB}}{{AG}} = \dfrac{{\dfrac{a}{2}.a}}{{\dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}}} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{4}\)

Vậy bán kính \(R = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{4}\).

b) Diện tích mặt cầu \(S = 4\pi {R^2} = 4\pi .{\left( {\dfrac{{a\sqrt 6 }}{4}} \right)^2} = \dfrac{{3{a^2}}}{3}\)

Thể tích mặt cầu \(V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3} = \dfrac{4}{3}\pi .{\left( {\dfrac{{a\sqrt 6 }}{4}} \right)^3} = \dfrac{{\pi {a^3}\sqrt 6 }}{8}\)