Cho tứ diện ABCD đều canh 2 căn 2 G là trọng tâm tứ diện. M trung điểm AB. Khoảng cách BG và CM là:. Mong các bạn đừng làm hệ tọa độ Oxyz

Đáp án:

$CM=\sqrt6$

$GB=\dfrac{\sqrt3}{\sqrt2}$

Lời giải:

$\Delta ABC$ đều có $M$ là trung điểm cạnh $AB$ nên CM vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao

$\Rightarrow\Delta ACM\bot M$:

$CM^2=AC^2-AM^2=(2\sqrt2)^2-(\dfrac{2\sqrt2}{2})^2=6\Rightarrow CM=\sqrt6$

Gọi $I$ là trung điểm của $CD$ lấy $BQ=\dfrac{2}{3}BI,AJ=\dfrac{2}{3}AI$

$\Rightarrow Q$ và $J$ là trọng tâm $\Delta BCD$ và $\Delta ACD$

Gọi $AQ\cap BJ\equiv G$ (G là trọng tâm tứ diện)

Ta có: $\dfrac{IJ}{IA}=\dfrac{IQ}{IB}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow JQ//AB$

$\Delta GJQ\sim\Delta DBA\Rightarrow\dfrac{GB}{GJ}=\dfrac{AB}{QJ}=\dfrac{AI}{IJ}=3$

$\Rightarrow\dfrac{GB}{GJ+GB}=\dfrac{GB}{BJ}=\dfrac{3}{1+3}=\dfrac{4}{4}$ (1)

$\Delta BJI\bot J$ có $BI=CM=\sqrt 6$, $IJ=\dfrac{1}{3}AI=\dfrac{1}{3}CM=\dfrac{\sqrt6}{3}$

$\Rightarrow BJ=\sqrt{6-\dfrac{6}{9}}=\dfrac{4}{\sqrt6}$ thay vào (1)

$\Rightarrow GB=\dfrac{3}{4}BJ=\dfrac{\sqrt3}{\sqrt2}$