cho tứ diện abcd có tam giác abc vuông tại A,AB=6,AC=8.trong tam giác BCD có độ dài đường cao kẻ từ đỉnh C bằng 8.mặt phẳng (BCD) vuông góc với mặt phẳng (ABC).cosin góc giữa mặt phẳng (ABD) và (BCD)

Đáp án:

\(\widehat {\left( {\left( {ABD} \right);\left( {BCD} \right)} \right)} \approx {59^0}\).

Giải thích các bước giải:

Trong (ABC) kẻ \(AH \bot BC \Rightarrow AH \bot \left( {BCD} \right)\).

Tam giác ABC vuông tại A \( \Rightarrow BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = 10\) (định lí Pytago).

Áp dụng HTL trong tam giác vuông ABC ta có:

\(A{B^2} = BH.BC \Rightarrow BH = \frac{{A{B^2}}}{{BC}} = \frac{{{6^2}}}{{10}} = 3,6\,\,\left( {cm} \right)\).

Trong (BCD) kẻ \(CM \bot BD,\,\,HK//CM \Rightarrow HK \bot BD\).

Ta có: \(AH \bot BD,\,\,HK \bot BD \Rightarrow BD \bot \left( {AHK} \right) \Rightarrow BD \bot AK\).

\( \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {ABD} \right);\left( {BCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {AK;HK} \right)} = \widehat {AKH}\).

Áp dụng định lí Ta-let ta có: \(\frac{{HK}}{{CM}} = \frac{{BH}}{{BC}} \Rightarrow HK = \frac{{CM.BH}}{{BC}} = \frac{{8.3,6}}{{10}} = 2,88\,\,\left( {cm} \right)\).

Áp dụng HTL trong tam giác vuông ABC có: \(AH.BC = AB.AC \Rightarrow AH = \frac{{6.8}}{{10}} = 4,8\,\,\left( {cm} \right)\).

\(AH \bot \left( {BCD} \right) \Rightarrow AH \bot HK \Rightarrow \Delta AHK\) vuông tại H.

Ta có \(\tan \widehat {AKH} = \frac{{AH}}{{HK}} = \frac{{4,8}}{{2,88}} = \frac{5}{3} \Rightarrow \widehat {AKH} \approx {59^0}\).

Vậy \(\widehat {\left( {\left( {ABD} \right);\left( {BCD} \right)} \right)} \approx {59^0}\).