Cho tứ diện ABCD có các mặt (ABC) và (ABD) là các tam giác đều cạnh a,các mặt (ACD) và (BCD) vuông góc với nhau.Tính số đo góc giữa 2 đường thẳng AD và BC

Gọi $H$ là trung điểm cạnh $CD$

$\Rightarrow AH\bot CD$ (do $\Delta ACD$ cân đỉnh $A$ vì có $AC=AD=a$)

Ta có:

$(ACD)\bot(BCD)$ (giả thiết)

$(ACD)\cap(BCD)=CD$

$AH\subset(ACD)$

$AH\bot CD$

$\Rightarrow AH\bot(BCD),HB\subset(BCD)\to AH\bot HB\to\Delta AHB\bot H$

Gọi $M$ là trung điểm của $AC$, $N$ là trung điểm của $AB$

$\Rightarrow MH$ là đường trung bình $\Delta ACD,MH//AD$

$MN$ là đường trung bình $\Delta ABC,MN//CB$

$\Rightarrow \widehat{(AD,BC)}=\widehat{(MH,MN)}=\widehat{HMN}$

$\Delta HMN$ có: $MH=MN=\dfrac{a}{2}$

$HN=\dfrac{a}{2}$ ($\Delta HAB\bot H,HN$ là đường trung điểm cạnh huyền $\to HN=AN=NB$)

$\to\Delta HMN$ đều $\Rightarrow \widehat{(AD,BC)}=\widehat{HMN}=60^o$.

Vì: (ACD)⊥(BCD)→(ACD)⊥(BCD)→ Kẻ AH⊥CD→AH⊥(BCD)→AH⊥BHAH⊥CD→AH⊥(BCD)→AH⊥BH

ta có: ΔBCD=ΔACD→AH=BHΔBCD=ΔACD→AH=BH

Xét ΔAHBΔAHB vuông tại H ta có : AH2+BH2=AB2↔2AH2=a2↔AH=BH=a2√AH2+BH2=AB2↔2AH2=a2↔AH=BH=a2

Xét tam giác AHC vuông tại H ta có:CH=AC2−AH2−−−−−−−−−−√=a2√→CD=2CH=a2–√CH=AC2−AH2=a2→CD=2CH=a2

→SBCD=12BH.CD=12.a2√.2–√a=12a2→SBCD=12BH.CD=12.a2.2a=12a2

Vậy thể tích của tứa diện: VABCD=13.AH.SBCD=13.a2√.12a2=a362√VABCD=13.AH.SBCD=13.a2.12a2=a362

Gọi M là trung điểm AC.

→→ Góc tạo bởi AD và BC là góc tạo bởi MN;MH

Ta có: MN=MH=a2MN=MH=a2

HN=BH2=BN2−−−−−−−−−−√=a22−a24−−−−−−√=a2=MN=HN→ΔMHNHN=BH2=BN2=a22−a24=a2=MN=HN→ΔMHN đều

→HMN^=60o→→HMN^=60o→ Góc tạo bởi AD và BC bằng 60o