Cho tứ diện ABCD có AB=a, AC=BC=AD=BD=(a√3)/2 . Gọi M N, là trung điểm của AB, CD. Góc giữa hai mặt phẳng (ABD) và (ABC) là α . Tính cosα biết mặt cầu đường kính MN tiếp xúc với cạnh AD

Đáp án:

Giải thích các bước giải: Bài toán nầy hơi lạ

Tứ diện ABCD có các cạnh xác định

ΔABC cân tại C; Δ ABD cân tại D ⇒ CM; DM cùng ⊥ AB ⇒ ∝ = ∠CMD

ΔACD; ΔBCD đều; ΔMCD cân tại M ⇒ MN⊥CD

Gọi O là trung điểm MN, Trong mp(OAD) vẽ OP⊥AD tại P

Đề bài cho " Biết mặt cầu đường kính MN tiếp xúc với cạnh AD " ⇒ OP = OM = ON = R

Trong ΔOPA và ΔOPMA có : OP² + PA² = OA² = OM² + MA² ⇒ PA² = MA² ⇒ PA = MA = a/2

Tương tự : PD = ND = a√3/4

⇒ AD = a/2 + a√3/4 = a(2 + √3)/4 trong khi đề bài cho AD = a√3/2 ???

Vậy sai ở chỗ nào? Có lẽ dữ kiện AB = a mâu thuẫn với dữ kiện " Biết mặt cầu đường kính MN tiếp xúc với cạnh AD " chăng?

Nếu chỉ dựa vào các dữ kiện AB = a, AC = BC = AD = BD = (a√3)/2  thì ⇒ ΔABC cân tại C; Δ ABD cân tại D ⇒ dễ dàng tính ra CM² = DM² = AC² - AM² = 3a²/4 - a²/4 = a²/2

⇒vCos∝ = (CM² + DM² - CD²)/2CM.DM = (a²/2 + a²/2 - 3a²/4)/2(a²/2) = 1/4

Không cần dữ kiện " Biết mặt cầu đường kính MN tiếp xúc với cạnh AD " 

Đáp án:2√3 -3

Giải thích các bước giải: