•Cho thăng bậc luỹ thừa cấp 8,tìm n để: $5^{9^{8^{6^{4^{n^{3^{2^{3}}}}}}}}=2020$ •Một người muốn dùng số tiền 4000000đ để mua hai mặt hàng có đơn giá 400000đ và 500000đ.Hàm hữu dụng cuả hai mặt hàng trên là U=(x+5).(y+4)(x,y lần lượt là số lượng hai mặt hàng).Hãy xác định số lượng cần mua cuả hai mặt hàng trên để hàm hữu dụng đạt giá trị cao nhất.

Lời giải:

•Ta có:

$5^{9^{8^{6^{4^{n^{3^{2^{3}}}}}}}}=2020$

$<=>5^{9^{8^{6^{4^{n^{6561}}}}}}=2020$

$<=>5^{9^{8^{6^{4^{n^{6561}}}}}}=5^{9^{8^{6^{4^{log_4(log_6(log_8(log_9(log_52020))))}}}}}$ 

$<=>n=\sqrt[6561]{log_4(log_6(log_8(log_9(log_52020))))}$

•Giải:

Với x,y lần lượt là số lượng hai mặt hàng,ta có điều kiện:$x≥0;y≥0$.Khi đó:

$400000x+500000y=4000000⇔4x+5y=40(*)$

Ta cần tìm $x,y≥0$ để hàm hữu dụng $U=(x+5)(y+4)$ đạt cực đại với điều kiện (*).

Từ (*) ta⇒$y=8-\frac{4}{5}x$.Thế vào $U$ ta được:

$U_1=(x+5)(12-\frac{4}{5}x)$

Ta có:

$U_1'=(12-\frac{4}{5}x)-\frac{4}{5}(x+5)=8-\frac{8}{5}x$

$U_1'=0⇔x=5>0(y=4>0)$

$U_1''=\frac{-8}{5}<0$

Do đó $U_1$ đạt cực đại tại $x=5$⇒Hàm hữu dụng $U$ đạt cực đại tại$(x,y)=(5;4)$ với$U(5;4)=80$

KL:Để hàm hữu dụng đạt giá trị cao nhất,người cần mua hai mặt hàng trên với số lượng lần lượt là 5 và 4.Khi đó giá trị hàm hữu dụng là$U(5;4)=80$