cho tam giác nhọn ABC , đường tròn đường kính BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M,N . Gọi H là giao điểm của BN và CM a, chứng minh AMHN nội tiếp đường tròn b, Gọi K là giao điểm của đường thẳng BC với đường thẳng AH . chứng minh ΔBHK đồng dạng Δ ACK

`a)`

Ta có:`hat{BMC}=90^o`(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Mà `hat{BMC}` và `hat{AMH}` là `2` góc kề bù

`⇒hat{AMH}=90^o`

Ta có:`hat{BNC}=90^o`(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Mà `hat{BNC}` và `hat{ANH}` là `2` góc kề bù

`⇒hat{ANH}=90^o`

Xét tứ giác `AMHN` có:

`hat{AMH}+hat{ANH}=90^o +90^o=180^o`

`⇒`tứ giác `AMHN` nội tiếp đường tròn(tổng `2` góc đối bằng `180^o)(đpcm)`

`b)`

Vì `hat{BMC}=90^o`(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)`⇒CM⊥AB`

     `hat{BNC}=90^o`(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)`⇒BN⊥AC`

Xét `ΔABC` có:

`BN⊥AC(cmt)`

`CM⊥AB(cmt)`

`BN∩CM={H}`

`⇒H` là trực tâm của `ΔABC`

`⇒AK⊥BC`

`⇒hat{AKB}=hat{AKC}=90^o`

Xét tứ giác `ABKN` có:

`hat{AKB}=hat{ANB}=90^o`

`⇒`tứ giác `ABKN` nội tiếp đường tròn(quỹ tích cung chứa góc)

`⇒hat{B_1}=hat{A_1}(2` góc nội tiếp cùng chắn $\mathop{KN}\limits^{\displaystyle\frown}$)

Xét `ΔBHK` và `ΔACK` có:

       `hat{BKH}=hat{AKC}=90^o`

       `hat{B_1}=hat{A_1}(cmt)`

`⇒ΔBHK`$\backsim$`ΔACK(g.g)(đpcm)`