Cho tam giác ABC vuông tại A.Vẽ đường tròn tâm A bán kính AH đường thẳng qua H vuông góc với AB cắt đường tròn (A) tại điểm thứ 2 là D.Lấy điểm E trên đường tròn A sao cho DE là đường kính a) Chứng minh rằng HE và AC vuông góc với nhau b) Chứng minh rằng DB tiếp xúc đường tròn (A) c) Cho AB = a,AC = 2a. Tính BD.CE theo a Giúp mình với ạ

Đáp án:

a)     AH ⊥ BC tại H(gt) hay AD ⊥ BC tại H

Cm △AHC = △DHC ( ch-cgv)

=>  Góc ACH= góc DCH ( 2 góc tg ứng)

Hay góc ACB = góc DCB

            Cm △ABC =△DBC (cgc)=> góc BAC= góc BDC = 90 độ

=>CD ⊥ BD tại D

Mà CD là bkinh của (C)

=>BD là tiếp tuyến tại D (đpcm)

b)     Tứ giác BACD có:

Góc BAC + góc BDC = 90+90=180

A và D là 2 đỉnh đối diện nhau

=> BACD là tứ giác nt(dhnb) (đpcm)

c)     Xét (C) có: góc BAE= góc AFE ( hệ quả) hay góc BAE = góc AFB

Cm △BAE ᔕ △BFA (gg)

=>BA/BF =BE/BA ( cặp cạnh tg ứ tỉ lệ)

=>BA^2 = BE.BF(1)

△ABC vuông tại A có đg cao AH

=> BA^2= BH.BC ( HTL) (2)

Từ (1) và (2) =>BE.BF = BH.BC (đpcm)

d)     => BE/BC = BH/BF

Cm △BEH ᔕ △BCF( cgc)

=> Góc BHE = góc BFC ( 2 góc tg ứng)

EH//AB (gt) => góc EHB = Góc HBA ( so le trog)(3)

Cm △HBA ᔕ △HAC(gg)

=> Góc HBA = góc HAC ( tg ứng)(4)

Từ (3) và (4)=> góc EHB = góc HAC

Mà góc EHB = góc BFC ( cmt)

=> Góc HAC = góc BFC

Hay góc IAC = góc IFC (5)

CA = CF => △CAF cân tại C (đn)

=> Góc CFA = góc CAF(tc) (6)

Từ (5) và (6) => Góc IAC + góc CAF = góc IFC + góc CFA

=>Góc IAF = góc IFA

=> △IAF cân tại I (tc)

Lại có trung tuyến IK

=> IK cũng là đg cao (tc)

=> IK  ⊥ AF tại K (7)

Xét (C): K là trung đ AF (gt) => CK  ⊥  AF tại K (đly) (8)

Từ (7) và (8) => C, I, K thẳng hàng(đpcm).

Giải thích các bước giải:

a)     AH ⊥ BC tại H(gt) hay AD ⊥ BC tại H

Cm △AHC = △DHC ( ch-cgv)

=>  Góc ACH= góc DCH ( 2 góc tg ứng)

Hay góc ACB = góc DCB

            Cm △ABC =△DBC (cgc)=> góc BAC= góc BDC = 90 độ

=>CD ⊥ BD tại D

Mà CD là bkinh của (C)

=>BD là tiếp tuyến tại D (đpcm)

b)     Tứ giác BACD có:

Góc BAC + góc BDC = 90+90=180

A và D là 2 đỉnh đối diện nhau

=> BACD là tứ giác nt(dhnb) (đpcm)

c)     Xét (C) có: góc BAE= góc AFE ( hệ quả) hay góc BAE = góc AFB

Cm △BAE ᔕ △BFA (gg)

=>BA/BF =BE/BA ( cặp cạnh tg ứ tỉ lệ)

=>BA^2 = BE.BF(1)

△ABC vuông tại A có đg cao AH

=> BA^2= BH.BC ( HTL) (2)

Từ (1) và (2) =>BE.BF = BH.BC (đpcm)

d)     => BE/BC = BH/BF

Cm △BEH ᔕ △BCF( cgc)

=> Góc BHE = góc BFC ( 2 góc tg ứng)

EH//AB (gt) => góc EHB = Góc HBA ( so le trog)(3)

Cm △HBA ᔕ △HAC(gg)

=> Góc HBA = góc HAC ( tg ứng)(4)

Từ (3) và (4)=> góc EHB = góc HAC

Mà góc EHB = góc BFC ( cmt)

=> Góc HAC = góc BFC

Hay góc IAC = góc IFC (5)

CA = CF => △CAF cân tại C (đn)

=> Góc CFA = góc CAF(tc) (6)

Từ (5) và (6) => Góc IAC + góc CAF = góc IFC + góc CFA

=>Góc IAF = góc IFA

=> △IAF cân tại I (tc)

Lại có trung tuyến IK

=> IK cũng là đg cao (tc)

=> IK  ⊥ AF tại K (7)

Xét (C): K là trung đ AF (gt) => CK  ⊥  AF tại K (đly) (8)

Từ (7) và (8) => C, I, K thẳng hàng(đpcm).

Đáp án:a)Theo đề bài thì DE//BC vì DE và BC đều là tiếp tuyến của đường tròn.
=>Tam giác ADE vuông tại D và tam giác AHC vuông tại H.
=>Hai tam giác vuông này có góc đối bằng nhau: DAE=CAH
Và hai cạnh bằng nhau (là bán kính đường tròn) AD=AH
=> hai tam giác vuông ADE và AHC bằng nhau
=>hai cạnh bằng nhau: AE=AC
Xét tam giác BEC có AE=AC hay gọi được gọi A là trung điểm của EC=> BA là trung tuyến của EBC kẻ từ B
Và tam giác BEC cũng có góc BAC vuông, hay còn gọi là đường cao.
Một tam giác có đường cao cũng là đường trung tuyến vậy tam giác BEC cân tại B
b)Vì BA vừa là trung tuyến vừa là đường cao của tam giác BEC cho nên BA chia tam giác cân BEC thành hai nửa tam giác vuông, và cũng bằng nhau: BAE=BAC
=> hai đường cao kẻ từ A tới đáy của hai tam giác vuông BAE và BAC là AH và AI phải bằng nhau.
c)AI= AH= bán kính đường tròn
AI vuông góc với BE theo đề bài
=> BE là tiếp tuyến của đường tròn

Giải thích các bước giải: