Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D và E là hình chiếu của H lên AB và AC. Biết AB = 6cm, BC = 10cm a) Tính BH, AH, AD/ AE b) CM: DE = BC. sinB. cosB

`a)` `AB=6cm; BC=10cm`

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông 

Xét $∆ABC$ vuông tại $A$ đường cao $AH$

`=>AB^2=BH.BC`

`=>BH={AB^2}/{BC}={6^2}/{10}=3,6cm`

$\\$

`\qquad CH=BC-BH=10-3,6=6,4cm`

$\\$

`\qquad AH^2=BH.CH=3,6. \ 6,4=23,04`

`=>AH=\sqrt{23,04}=4,8cm`

$\\$

`\qquad AC^2=CH.BC=6,4.\ 10=64`

`=>AC=\sqrt{64}=8cm`

$\\$

Xét $∆ABH$ vuông tại $H$ có $HD\perp AB$

`=>AH^2=AD.AB`

Xét $∆ACH$ vuông tại $H$ có $HE\perp AC$

`=>AH^2=AE.AC`

$\\$

`=>AD.AB=AE.AC`

`=>{AD}/{AE}={AC}/{AB}=8/6=4/3`

Vậy `BH=3,6cm; AH=4,8cm; {AD}/{AE}=4/3`

$\\$

`b)` Xét tứ giác $ADHE$ có:

`\qquad \hat{DAE}=\hat{ADH}=\hat{AEH}=90°`

`=>ADHE` là hình chữ nhật 

`=>AH=DE`

$\\$

Xét $∆ABC$ vuông tại $A$ ta có:

`\qquad sinB={AC}/{BC}; cosB={AB}/{AC}`

`\qquad AH.BC=AB.AC` (hệ thức lượng)

`=>sinB. cosB={AC}/{BC} . {AB}/{BC}={AB.AC}/{BC.BC}`

`={AH.BC}/{BC.BC}={AH}/{BC}={DE}/{BC}`

`=>DE=BC.sinB.cosB` (đpcm)