Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB < AC), đường cao AH. Gọi M là trung điểm của BC, đường thẳng qua A vuông góc với AM cắt BC tại S. Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa A lấy điểm K sao cho tam giác BKC vuông cân tại K. Lấy N đối xứng với K qua M. 1) Chứng minh rằng SB.SC = SH.SM.

Giải thích các bước giải:

Ta có $SA\perp AM\to\Delta SAM$ vuông tại $A$
           $AH\perp BC\to AH\perp SM$

$\to SA^2=SH\cdot SM$

Xét $\Delta SAB,\Delta SAC$ có:

Chung $\hat S$

$\widehat{SAB}=90^o-\widehat{BAM}=90^o-\widehat{ABM}=90^o-\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\widehat{ACS}$

Vì $\Delta ABC$ vuông tại $A, M$ là trung điểm $BC\to MA=MB=MC=\dfrac12CB$

$\to \Delta MAB$ cân tại $M\to\widehat{MAB}=\widehat{MBA}$

$\to \Delta SAB\sim\Delta SCA(g.g)$

$\to \dfrac{SA}{SC}=\dfrac{SB}{SA}$

$\to SA^2=SB\cdot SC$

$\to SB\cdot SC=SH\cdot SM$