Cho tam giác ABC vuông tại A a) Gỉa sử khi AB = 9; AC = 12. Tính cạnh BC và các góc còn lại trong tam giác ABC b) Gọi H là hình chiếu của A trên BC; E, F lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC. Chứng minh rang: AH = È và AE. AB = À. AC c) Gọi K là trung điểm của BC, biết AK cắt EF tại I. Chứng tỏ rằng: AK vuông góc với EF

`\quad AB=9;AC=12`

`a)` Xét $∆ABC$ vuông tại $A$

`=>BC^2=AB^2+AC^2` (định lý Pytago)

`=>BC=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{225}=15`

$\\$

`\qquad sinB={AC}/{BC}={12}/{15}=4/ 5`

`=>\hat{B}≈53°`

$\\$

`\qquad \hat{B}+\hat{C}=90°` (hai góc phụ nhau)

`=>\hat{C}=90°-\hat{B}≈90°-53°=37°`

Vậy `BC=25; \hat{B}≈53°;\hat{C}≈37°`

$\\$

`b)` `E;F` là hình chiếu của $H$ trên $AB;AC$

`=>\hat{AEH}=\hat{A FH}=90°`

`=>\hat{EA F}=\hat{AEH}=\hat{A FH}=90°`

`=>AEHF` là hình chữ nhật 

`=>AH=E F`

$\\$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông 

Xét $∆ABH$ vuông tại $H$ có $HE\perp AB$

`=>AH^2=AE.AB`

$\\$

Xét $∆ACH$ vuông tại $H$ có $HF\perp AC$

`=>AH^2=A F.AC`

$\\$

`=>AE .AB=A F.AC` (đpcm)

$\\$

`c)` Gọi $I$ là giao điểm $AK$ và $E F$

Vì $AE.AB=A F.AC$ (câu b)

`=>{AE}/{AC}={AF}/{AB}`

$\\$

Xét $∆AE F$ và $∆ACB$ có:

`\qquad \hat{A}` chung

`\qquad {AE}/{AC}={AF}/{AB}` (c/m trên)

`=>∆AE F∽∆ACB` (c-g-c)

`=>\hat{AE F}=\hat{ACB}`

`=>\hat{AEI}=\hat{ACK}` $(1)$

$\\$

Vì $K$ là trung điểm $BC$ (gt)

`=>AK` là trung tuyến $∆ABC$ vuông tại $A$

`=>AK=CK={BC}/2`

`=>∆ACK` cân tại $K$

`=>\hat{KAC}=\hat{ACK}`

`=>\hat{IA F}=\hat{ACK}` $(2)$

$\\$

Từ `(1);(2)=>\hat{AEI}=\hat{IA F}`

Ta có:

`\qquad \hat{EAI}+\hat{IA F}=\hat{EAF}=90°`

`=>\hat{EAI}+\hat{AEI}=90°`

$\\$

Xét $∆AEI$ có:

`\qquad \hat{AIE}=180°-(\hat{EAI}+\hat{AEI})=180°-90°=90°`

`=>AK`$\perp E F$ tại $I$ (đpcm)