Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trọng tâm G(3,6,1). Trung điểm BC là M(4,8,-1). BC nằm trong mặt phẳng P có phương trình: 2x+y+2z-14=0. Tìm tọa độ A,B,C

$G(3;6;1)$ là trọng tâm $\triangle ABC$

$M(4;8;-1)$ là trung điểm $BC$

$\Rightarrow \overrightarrow{AG} = \dfrac23\overrightarrow{AM}$

Gọi $A(a;b;c)$ ta được:

$\begin{cases}3 - a = \dfrac23(4 - a)\\6 - b = \dfrac23(8 - b)\\1 - c = \dfrac23(-1 - c)\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}a = 1\\b = 2\\c = 5\end{cases}$

$\Rightarrow A(1;2;5)$

Do $\triangle ABC$ vuông cân tại $A$ có $M$ là trung điểm cạnh huyền $BC$

$\Rightarrow AM\perp BC$

$\Rightarrow GM\perp BC$

$\Rightarrow \overrightarrow{GM}=(1;2;-2)$ là $VTPT$ của $BC$

Bên cạnh đó: $BC\subset (P): 2x + y + 2z - 14 =0$

$\Rightarrow \overrightarrow{n_P} = (2;1;2)$ là $VTPT$ của $BC$

$\Rightarrow \overrightarrow{u_{BC}} = \left[\overrightarrow{GM};\overrightarrow{n_P}\right] = (6;-6;-3)$ là $VTCP$ của $BC$

Chọn $\overrightarrow{u} = (2;-2;-1)$ cùng phương với $\overrightarrow{u_{BC}}$

Phương trình đường thẳng $BC$ đi qua $M(4;8;-1)$, nhận $\overrightarrow{u} = (2;-2;-1)$ làm $VTCP$ có dạng:

$BC:\begin{cases}x = 4 +2t\\y = 8 - 2t\\z = -1 -t\end{cases}\qquad (t \in\Bbb R)$

Gọi $B(4+2t;8-2t;-1-t)\in BC$

$\Rightarrow C(4-2t;8+2t;-1+t)$ đối xứng $B$ qua $M$

$\Rightarrow \begin{cases}\overrightarrow{AB} = (3+2t;6-2t;-6-t)\\\overrightarrow{AC}=(3-2t;6+2t;-6+t)\end{cases}$

Ta có: $\triangle ABC$ vuông cân tại $A$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 0$

$\Leftrightarrow (3+2t)(3-2t) + (6-2t)(6+2t) + (-6-t)(-6+t) =0$

$\Leftrightarrow 9 - 4t^2 + 36 - 4t^2 + 36 - t^2 =0$

$\Leftrightarrow 81 - 9t^2 =0$

$\Leftrightarrow t = \pm 3$

$\Rightarrow \left[\begin{array}{l}\begin{cases}B(10;2;-4)\\C(-2;14;2)\end{cases}\\\begin{cases}B(-2;14;2)\\C(10;2;-4)\end{cases}\end{array}\right.$

Vậy $A(1;2;5);\ B(10;2;-4);\ C(-2;14;2)$

hoặc $A(1;2;5);\ B(-2;14;2);\ C(10;2;-4)$