Cho tam giác ABC không cân. điểm M thay đoiir trong tam giác sao cho góc AMc - abc=amb-acb. Chứng mjnh M thuoicj đường tròn cố định

Đáp án:

Dựng ra phía ngoài tam giác điểm $N,$ sao cho $\triangle{ANC}\sim \triangle{AMB}$
\[\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \dfrac{AN}{AM}=\dfrac{AB}{AC} & \\ \widehat{BAC}=\widehat{MAN} & \end{matrix}\right.\]

\[⇒\triangle{AMN}\sim \triangle{ABC}\]

\[⇒\widehat{AMN}=\widehat{ABC}\]

\[⇒\widehat{AMC}-\widehat{ABC}=\widehat{AMC}-\widehat{AMN}=\widehat{CMN}(1)\]

Mặt khác: \[ \left\{\begin{matrix}
\widehat{ANC}=\widehat{AMB} & \\ 
\widehat{ANM}=\widehat{ACB} & 
\end{matrix}\right.\]

\[⇒\widehat{AMB}-\widehat{ACB}=\widehat{ANC}-\widehat{ANM}=\widehat{MNC}(2)\]

Từ $(1);(2);\widehat{CMN}=\widehat{CNM}$

\[⇒CN=CM\]

\[⇒\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{CN}{AC}=\dfrac{CM}{AC}\Rightarrow \dfrac{AM}{CM}=\dfrac{AB}{AC}\]

Vậy $M$ thuộc đường tròn $Appolonius$ dựng trên đoạn $AC$ với tỉ số $\dfrac{AB}{AC}$