Cho tam giác ABC có BC=4CM. Gọi D,E theo thứ tự là trung điểm của AC,AB,M và N theo thứ tự là trung điểm của BE vad CD MN cắt BD ở P, cắt CE ở Q. a) tính độ dài MN b) cm MP: PQ=qN

a) Xét $ΔABC$ có:

$AD = DC = \dfrac{1}{2}AC \quad (gt)$

$AE = EB = \dfrac{1}{2}AB \quad (gt)$

$\Rightarrow DE$ là đường trung bình

$\Rightarrow DE//BC;\, DE = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{1}{2}.4 = 2\, cm$

b) Xét hình thang $BCDE \quad (DE//BC)$ có:

$BM = ME = \dfrac{1}{2}BE \quad (gt)$

$CN = ND = \dfrac{1}{2}CD\quad (gt)$

$\Rightarrow MN$ là đường trung bình

$\Rightarrow MN//DE//BC$

Xét $ΔEDC$ có:

$NQ//ED \quad (MN//ED)$

$CN = ND = \dfrac{1}{2}CD$

$\Rightarrow EQ = QC = \dfrac{1}{2}EC$

$\Rightarrow NQ$ là đường trung bình

$\Rightarrow NQ = \dfrac{1}{2}ED$

Xét $ΔDBC$ có:

$NP//BC\quad (MN//BC)$

$CN = ND = \dfrac{1}{2}CD$

$\Rightarrow BP = PD = \dfrac{1}{2}BD$

$\Rightarrow NP$ là đường trung bình

$\Rightarrow NP = \dfrac{1}{2}BC = ED$

$\Rightarrow NP = 2NQ$

$\Rightarrow NP - NQ = NQ$

$\Rightarrow PQ = NQ$