Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O). Đường cao AH cắt đường tròn ở điểm D. a) AD có phải là đường kính của đường tròn (O) không ? Tại sao? b) Chứng minh: BC2 = 4AH . DH c) Cho BC = 24cm, AB = 20cm. Tính bán kính của đường tròn (O).

`a)` Ta có: `ΔABC` cân tại `A` 

`=> AH` vừa là đường cao vừa là đường trung trực của cạnh `BC`      `(1)`

Mà `O` là tâm đường tròn ngoại tiếp của `ΔABC`

`=> AO` là đường trung trực của cạnh `BC`    `(2)`

Từ `(1); (2)`

`=> AH, AO` là một đường thẳng

`=> A, H, O` thẳng hàng

$\Rightarrow O\in AD$

`=>` `AD` là đường kính của `(O)`

`b)` Xét `(O)` có `AD` là đường kính

`=> ΔABD` vuông tại `B`

Xét tam giác vuông `BAD` có `BH⊥AD`

`=> AH. HD=BH² (1)`

Xét `ΔABC` cân tại `A` có `AH` là đường cao

`=> AH` đồng thời là trung tuyến của `ΔABC`

`=> H` là trung điểm của `BC`

`=> HB=(BC)/2`

`=>` `(1)` `<=>AH.HD=((BC)/2)^2`

`=> 4AH.HD=BC² (đpcm)`

`c)` Ta có: $BH=\dfrac{BC}{2} =\dfrac{24}{2}=12cm$

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông `ABH` ta có:

`AH²=AB²-BH²=20²-12²=256`

`=> AH=16(cm)`

Ta có: `4AH. DH=BC²`

`<=>4.16.DH=24²=> DH=9(cm)`

`=> AD=AH+DH=16+9=25=2R`

`=>R=12,5 (cm)`