Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC, K là điểm đối xứng với A qua M. a) Chứng minh tứ giác ABKC là hình thoi. b) Tam giác ABC cần thêm điều kiện gì thì tứ giác ABKC là hình vuông? c) Qua A kẻ đường thẳng song song với BC, đường thẳng này cắt đường thẳng CK tại D. Chứng minh AD = BC. d) Cho biết AD = 6cm, AK = 8cm. Tính đường cao AH của tam giác ADK.

Đáp án:

a) Tứ giác ABKC là hình thoi

b) Để tứ giác ABKC là hình vuông thì $\triangle ABC$ cần thêm điều kiện là tam giác vuông tại A

c) $AD=BC$

d) $AH=4,8cm$

Giải thích các bước giải:

a)

Xét tứ giác ABKC:

M là trung điểm của AK (gt)

M là trung điểm của BC (gt)

$\to$ Tứ giác ABKC là hình bình hành (2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

$\triangle ABC$ cân tại A, đường trung tuyến AM

$\to$ AM đồng thời là đường cao

$\to AM\bot BC\to AK\bot BC$

$\to$ Tứ giác ABKC là hình thoi (hình bình hành có 2 đường chéo vuông góc)

b)

Tứ giác ABKC là hình thoi (cmt)

$\to$ Để tứ giác ABKC là hình vuông

$⇔AB\bot AC$

$\to\triangle ABC$ vuông tại A

$\to$ Để tứ giác ABKC là hình vuông thì $\triangle ABC$ cần thêm điều kiện là tam giác vuông tại A

c)

Tứ giác ABKC là hình thoi (cmt)

$\to AB//KC$

Xét tứ giác ABCD:

$AD//BC$ (gt)

$AB//CD\,\,\,(AB//KC)$

$\to$ Tứ giác ABCD là hình bình hành (các cạnh đối song song)

$\to AD=BC$

d)

Ta có: $AD//BC$ (gt)

$AM\bot BC$ (cmt)

$\to AD\bot AM\to AD\bot AK$

$\to\triangle AKD$ vuông tại A

$\to AD^2+AK^2=DK^2$ (định lý Pytago)

$\to DK=\sqrt{AD^2+AK^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10(cm)$

Lại có:

$S_{AKD}=\dfrac{1}{2}.AD.AK=\dfrac{1}{2}.AH.DK\\\to AH.DK=AD.AK\\\to AH=\dfrac{AD.AK}{DK}=\dfrac{6.8}{10}=4,8(cm)$