Cho số phức $z$ và $w$ thỏa mãn $z+w=3+4i$ và $|z-w|=9$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $T=|z|+|w|$

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 Đặt $z=x+yi\left( x,y\in \mathbb{R} \right)$

Vì $z+w=3+4i$ 

$⇒w=\left( 3-x \right)+\left( 4-y \right)i$

Mà $\left| z-w \right|=9$ nên:

$⇒\left| z-w \right|=\sqrt{{{\left( 2x-3 \right)}^{2}}+{{\left( 2y-4 \right)}^{2}}}=\sqrt{4{{x}^{2}}+4{{y}^{2}}-12x-16y+25}=9$

$\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}-6x-8y=28\left( 1 \right)$

$⇒T=\left| z \right|+\left| w \right|=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}+\sqrt{{{\left( 3-x \right)}^{2}}+{{\left( 4-y \right)}^{2}}}$

Áp dụng BĐT  Bunyakovsky,có:

${{T}^{2}}\le 2\left( 2{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}-6x-8y+25 \right) \left( 2 \right)$

Dấu $"="$ xảy ra khi $\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 3-x \right)}^{2}}+{{\left( 4-y \right)}^{2}}}$

$(1);(2)⇒{{T}^{2}}\le 2.\left( 28+25 \right)\Leftrightarrow -\sqrt{106}\le T\le \sqrt{106}$

$⇒MaxT=\sqrt{106}$