Cho số phức z thỏa mãn |z| = 3 Tìm z de P= |z - 1| max

Đáp án:

 `z=-3` thì `P_{max}=4`

Giải thích các bước giải:

 Đặt `z=a+bi\ (a;b\in RR)`

Vì `|z|=3=>\sqrt{a^2+b^2}=3`

`=>a^2+b^2=9`

`=>|a|\le 3; |b|\le 3`

Ta có:

`\qquad z-1=a+bi-1=a-1+bi`

`=>|z-1|=\sqrt{(a-1)^2+b^2}`

`=\sqrt{a^2+b^2+1-2a}=\sqrt{9+1-2a}`

`=\sqrt{10-2a}`

Đặt `y=f(a)=\sqrt{10-2a}` `(a\in [-3;3])`

`=>y'={(10-2a)'}/{2\sqrt{10-2a}}`

`=-2/{2\sqrt{10-2a}}=-1/{\sqrt{10-2a}}<0` với mọi $a$

`=>` Hàm số luôn nghịch biến trên `[-3;3]`

`=>f(3)\le f(a)\le f(-3)` với mọi `a\in [-3;3]`

`=>\sqrt{10-2.3}\le f(a)\le \sqrt{10-2.(-3)}`

`=>2\le f(a)\le 4`

`=>f(a)_{max}=4` khi `a=-3=>b=0``

`=>z=a+bi=-3+0i=-3`

Vậy `z=-3` thì `P=|z-1|` có $GTLN$ bằng $4$