Cho số phức z thỏa mãn |z-3-4i|=căn 5 và biểu thức P=|z+2|^2-|z-i|^2 đạt giá trị lớn nhất. Tính |z+i|

Đáp án: $ |z + i| = \sqrt{61} $

Giải thích các bước giải:

Đặt $: z = a + bi ⇔ z - 3 - 4i = (a - 3) + (b - 4)i$

$ |z - 3 - 4i| = \sqrt{5} ⇔ |z - 3 - 4i|² = 5$

$ ⇔ (a - 3)² + (b - 4)² = 5 (1)$

$ z + 2 = (a + 2) + bi $

$ ⇒ |z + 2|² = (a + 2)² + b² = a² + b² + 4a + 4 (2)$

$ z - i = a + (b - 1)i $

$ ⇒ |z - i|² = a² + (b - 1)² = a² + b² - 2b + 1(3)$

Lấy $: (2) - (3)$ và áp dụng BĐT Bunnhiacopsky có:

$P = |z + 2|² - |z - i|² = 4a + 2b + 3 $

$ = 4(a - 3) + 2(b - 4) + 23$

$ ≤ \sqrt{(4² + 2²)[(a - 3)² + (b - 4)²]} + 23$

$ = \sqrt{20.5} + 23 = 10 + 23 = 33 (4)$

$ ⇒ GTLN $ của $P = 33 $ đạt đượckhi:

$ \dfrac{a - 3}{4} = \dfrac{b - 4}{2}⇔ a - 3 = 2(b - 4)$ 

Thay vào $(1) : 4(b - 4)² + (b - 4)² = 5 $

$ ⇔ b - 4 = ± 1 ⇒ a - 3 = ± 2$

Thay vào $(4) ⇒ a = b = 5 (TM)$

Khi đó : $ z + i = a + (b + 1)i$

$ ⇒ |z + i| = \sqrt{a² + (b + 1)²} = \sqrt{61} $