Cho số phức z thỏa mãn điều kiện | z +2 | = | z + 2i |. Biết giá trị nhỏ nhất của A = | z - 1 - 2i | + | z - 3 -4i | + | z - 5 - 6i |. Và được viết dưới dạng a + b√17 / √2 với a,b là số hữu tỉ. Giá trị của 3a - b bằng

Đáp án:

$3a - b = 1$ 

Giải thích các bước giải:

Đặt $z = x + yi\ \ (x,\ y \in\Bbb R)$

$\Rightarrow M(x;y)$ là điểm biểu diễn số phức $z$ trên mặt phẳng phức

Ta có:

$\quad |z+2| = |z+2i|$

$\Leftrightarrow |(x+2) + yi| = |x + (y+2)i|$

$\Rightarrow (x+2)^2 + y^2 = x^2 + (y+2)^2$

$\Leftrightarrow x = y$

$\Rightarrow M\in d: y = x$

Xét $A = |z - 1 - 2i| + |z - 3 -4i| + |z-5-6i|$

$\Leftrightarrow A = MA + MB + MC$ với $A(1;2),\ B(3;4),\ C(5;6)$

Nhận thấy $A,\ B,\ C$ cùng nằm trên đường thẳng song song với $d$ và $AB = BC = \dfrac12AC$

Gọi $A'$ là điểm đối xứng $A$ qua $d$

$\Rightarrow A'(2;1)$

Khi đó:

$A_{\min} \Leftrightarrow M = A'C \cap d$

$\Rightarrow M\left(\dfrac72;\dfrac72\right)$

$\Rightarrow A_{\min} = A'C + MB = \sqrt{34} + \dfrac{1}{\sqrt2} = \dfrac{1 + 2\sqrt{17}}{\sqrt2}$

$\Rightarrow \begin{cases}a = 1\\b = 2\end{cases}$

$\Rightarrow 3a - b = 1$