Cho số phức z thỏa mãn $(3+i)|z|$=$\frac{-2+14i}{z}$ +$1-3i$ .Khẳng định nào sau đây đúng? $A$. $\frac{3}{2}$<$|z|$<$2$ $B$. $\frac{13}{4}$<$|z|$<$4$ $C$. $\frac{7}{4}$<$|z|$<$\frac{11}{5}$ $D$. $1$<$|z|$<$\frac{3}{2}$

Đáp án:

$C.\ \dfrac{7}{4} < |z| < \dfrac{11}{5}$

Giải thích các bước giải:

$\quad (3+i)|z| = \dfrac{- 2 + 14i}{z} + 1 - 3i$

$\Leftrightarrow z\left[(3 + i)|z| - 1 + 3i\right]= - 2 + 14i$

$\Leftrightarrow z\left[3|z| - 1 + (|z| + 3)i\right] = - 2 + 14i$

$\Leftrightarrow |z|\left|3|z| - 1 + (|z| + 3)i\right|= |- 2 + 14i|$

$\Leftrightarrow |z|\sqrt{(3|z| - 1)^2 + (|z| + 3)^2} = 10\sqrt2$

$\Leftrightarrow |z|^2(10|z|^2 + 10) - 200 = 0$

$\Leftrightarrow |z|^4 + |z|^2 - 20 = 0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}|z| =- 2\quad (l)\\|z| = 2\quad\ (n)\end{array}\right.$

$\Rightarrow \dfrac{7}{4} < |z| < \dfrac{11}{5}$