Cho số phức z có tích phần thực và ảo là 625. Gọi a là phần thực của số phức z/(3+4i) tính giá trị nhỏ nhất của |a|. Giải chi tiết luôn nha mọi người

Đáp án:

Giá trị nhỏ nhất của $|a|=4\sqrt3$ khi $z=\pm\dfrac{50\sqrt3}{3}\pm\dfrac{25\sqrt3}2i$

Giải thích các bước giải:

Gọi $z=x+yi$

$\Rightarrow xy=625\Rightarrow x=\dfrac {625}y$ (1)

Xét $\dfrac{z}{3+4i}=\dfrac{(x+yi)(3-4i)}{(3+4i)(3-4i)}=\dfrac{3x-4xi+3yi+4y}{25}$

$\Rightarrow$ phần thực của số phức trên là $a=\dfrac{3x+4y}{25}$ (2)

Thay (1) vào (2) ta được:

$a=\dfrac{3.\dfrac{625}y+4y}{25}=\dfrac{75}y+\dfrac{4y}{25}$

$|a|=\left|{\dfrac{75}y+\dfrac{4y}{25}}\right|$

do $\dfrac{75}y,\dfrac{4y}{25}$ cùng dấu nên

$|a|=\left|{\dfrac{75}y+\dfrac{4y}{25}}\right|=\left|{\dfrac{75}y}\right|+\left|{\dfrac{4y}{25}}\right|\ge2\sqrt{\dfrac{75}y.\dfrac{4y}{25}}=4\sqrt3$ (bất đẳng thức Cosi)

Vậy giá trị nhỏ nhất $|a|=4\sqrt3$ khi $\dfrac{75}{y}=\dfrac{4y}{25}\Rightarrow y=\pm\dfrac{25\sqrt3}2,x=\pm\dfrac{50}{\sqrt3}$ hay $z=\pm\dfrac{50\sqrt3}{3}\pm\dfrac{25\sqrt3}2i$.

Đáp án:

Giá trị nhỏ nhất của $|a|=4\sqrt3$ khi $z=\pm\dfrac{50\sqrt3}{3}\pm\dfrac{25\sqrt3}2i$

Giải thích các bước giải:

Gọi $z=x+yi$

$\Rightarrow xy=625\Rightarrow x=\dfrac {625}y$ (1)

Xét $\dfrac{z}{3+4i}=\dfrac{(x+yi)(3-4i)}{(3+4i)(3-4i)}=\dfrac{3x-4xi+3yi+4y}{25}$

$\Rightarrow$ phần thực của số phức trên là $a=\dfrac{3x+4y}{25}$ (2)

Thay (1) vào (2) ta được:

$a=\dfrac{3.\dfrac{625}y+4y}{25}=\dfrac{75}y+\dfrac{4y}{25}$

$|a|=\left|{\dfrac{75}y+\dfrac{4y}{25}}\right|$

do $\dfrac{75}y,\dfrac{4y}{25}$ cùng dấu nên

$|a|=\left|{\dfrac{75}y+\dfrac{4y}{25}}\right|=\left|{\dfrac{75}y}\right|+\left|{\dfrac{4y}{25}}\right|\ge2\sqrt{\dfrac{75}y.\dfrac{4y}{25}}=4\sqrt3$ (bất đẳng thức Cosi)

Vậy giá trị nhỏ nhất $|a|=4\sqrt3$ khi $\dfrac{75}{y}=\dfrac{4y}{25}\Rightarrow y=\pm\dfrac{25\sqrt3}2,x=\pm\dfrac{50}{\sqrt3}$ hay $z=\pm\dfrac{50\sqrt3}{3}\pm\dfrac{25\sqrt3}2i$.