cho số phức thỏa mãn |z1|=|z2|=1 .tìm giá trị lớn nhất của P=|z1-z2| +|z2-i| +|z1-i|

Đáp án:

$\max P = 3\sqrt3$ 

Giải thích các bước giải:

Gọi $M_1;\ M_2$ lần lượt là điểm biểu diễn số phức $z_1;\ z_2$ trên mặt phẳng phức

$\Rightarrow M_1;\ M_2\in I(O;1)$

$\Rightarrow \begin{cases}|z_1 - z_2| = M_1M_2\\|z_2 - i| = M_2A\\|z_1 - i| = M_1A\end{cases}\qquad \text{với}\ A(0;1)$

Nhận thấy $A(0;1)\in I(O;1)$

Do đó $\triangle AM_1M_2$ nội tiếp $I(O;1)$

Khi đó:

$\quad P = |z_1 - z_2| + |z_2 - i| + |z_1 - i|$ lớn nhất

$\Leftrightarrow M_1M_2 + M_1A + M_2A$ lớn nhất

$\Leftrightarrow P_{\triangle AM_1M_2}$ lớn nhất

$\Leftrightarrow P = 3\sqrt3 R = 3\sqrt3$

Trong các tam giác nội tiếp đường tròn, tam giác đều có chu vi lớn nhất, khi đó $P = 3\sqrt3R$