cho S.ABCD đáy hình chữ nhật, AB=a, AD=2a. Hình chiếu của S lên (ABCD) là trung điểm H của AD. SB tạo với đáy góc 45 độ. tính d(SD,BH)

Gọi $E$ là trung điểm $BC$

$\Rightarrow ABEH; \, HECD$ là hình vuông

Ta có:

$SH\perp (ABCD)$

$\Rightarrow HB$ là hình chiếu của $SB$ lên $(ABCD)$

$\Rightarrow \widehat{HBS} = \widehat{(SB;(ABCD))} = 45^o$

$\Rightarrow SH = BH = a\sqrt{2}$

Gọi $O$ là giao điểm hai đường chéo của hình vuông $HECD$

Ta có:

$HE = HD = a$

$SH:$ cạnh chung

$\Rightarrow SE = SD$

$\Rightarrow SO\perp ED$

mà $HO\perp ED$ (hai đường chéo hình vuông)

$\Rightarrow ED\perp (SHO)$

Kẻ $HK\perp SO$

$\Rightarrow ED\perp HK$

$\Rightarrow HK\perp (SED)$

$\Rightarrow HK = d(H;(SED))$

Ta có: $HB//DE$

$\Rightarrow HB//(SED)$

$\Rightarrow d(HB;SD) = d(HB;(SED)) = d(H;(SED)) = HK$

Áp dụng hệ thức lượng, ta được:

$\dfrac{1}{HK^2} = \dfrac{1}{SH^2} + \dfrac{1}{HO^2}$

$\Rightarrow HK = \sqrt{\dfrac{SH^2.HO^2}{SH^2 + HO^2}} = \sqrt{\dfrac{(a\sqrt{2})^2.(\dfrac{a\sqrt{2}}{2})^2}{(a\sqrt{2})^2 +(\dfrac{a\sqrt{2}}{2})^2}} = \dfrac{a\sqrt{10}}{5}$