Cho S.ABCD đáy hbh, AB=2a; BC=a căn 2; BD=a căn 6; hình chiếu S lên (ABCD) là trọng tâm G của BCD, SG=2a => khoảng cách G=> (SBD) ??

Đáp án:

\(\dfrac{a}{\sqrt{7}}\)
Giải thích các bước giải:

 Từ \(G\) kẻ \(GM \perp BD\)

Ta có: 

$\begin{cases}BD \perp GM\\BD \perp SG\end{cases}$

\(\Rightarrow BD \perp (SGM)\)  (1)

Từ \(G\) kẻ \(GN \perp SM\)

$\begin{cases}GN \perp SM\\GN \perp BD (1) \end{cases}$

\(\Rightarrow GN \perp (SBD)\)

\(\Rightarrow GN=d(G,(SBD))\)

Xét \(\Delta BCD\):

Ta có: \(BC^{2} +CD^{2}=BD^{2}\)

\(\Leftrightarrow 2a^{2}+4a^{2}=6a^{2}\) (luôn đúng)

\(\Rightarrow \Delta BCD\) vuông tại \(C\) (định lí Py-ta-go đảo)

Kẻ \(CH \perp BD\)

\(\dfrac{1}{BC^{2}}+\dfrac{1}{CD^{2}}=\dfrac{1}{CH^{2}}\)

\(\Leftrightarrow \dfrac{1}{2a^{2}}+\dfrac{1}{4a^{2}}=\dfrac{1}{CH^{2}}\)

\(\Rightarrow CH=\dfrac{2}{\sqrt{3}}a\)

\(MG//CH\) (cùng vuông góc \(BD\))

\(\Rightarrow \dfrac{OG}{OC}=\dfrac{MG}{CH}=\dfrac{1}{3}\) (theo định lí Ta-let)

\(\Rightarrow MG=\dfrac{CH}{3}=\dfrac{2\sqrt{3}}{9}a\)

Xét \(\Delta SGM\) vuông tại \(G\):

\(\dfrac{1}{GM^{2}}+\dfrac{1}{SG^{2}}=\dfrac{1}{GN^{2}}\)

\(\Rightarrow \dfrac{1}{(\dfrac{2\sqrt{3}}{9}a)^{2}}+\dfrac{1}{4a^{2}}=\dfrac{1}{GN^{2}}\)

\(\Rightarrow GN=\dfrac{1}{\sqrt{7}}a\)