Cho SABC có đáy tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên đáy là H trên cạnh AC sao cho AH=2/3 AC; mặt phẳng (SBC) tạo với đáy 1 góc 60 độ. Tính Vsabc

Đáp án:

$ V_{S.ABC} = \dfrac{a^3\sqrt3}{24}$ 

Giải thích các bước giải:

Gọi $M$ là trung điểm $BC$

$\Rightarrow \begin{cases}AM\perp BC\\AM = \dfrac{a\sqrt3}{2}\end{cases}$

Từ $H$ kẻ $HN\perp BC$

$\Rightarrow HN//AM$

$\Rightarrow \dfrac{HN}{AM} = \dfrac{HC}{AC} = \dfrac13$ (định lý $Thales$)

$\Rightarrow HN = \dfrac13AM = \dfrac{a\sqrt3}{6}$

Ta có:

$\begin{cases}HN\perp BC\quad \text{(cách dựng)}\\SH\perp BC\quad (SH\perp (ABC))\end{cases}$

$\Rightarrow BC\perp (SHN)$

$\Rightarrow BC\perp SN$

Khi đó:

$\begin{cases}(SBC)\cap (ABC) = BC\\HN\perp BC\quad \text{(cách dựng)}\\HN\subset (ABC)\\SN\perp BC\quad (cmt)\\SN\subset (SBC)\end{cases}$

$\Rightarrow \widehat{((SBC);(ABC))} = \widehat{SNH} = 60^\circ$

$\Rightarrow SH = HN.\tan60^\circ = \dfrac{a\sqrt3}{6}\cdot \sqrt3 = \dfrac{a}{2}$

Ta được:

$V_{S.ABC} = \dfrac13S_{ABC}.SH = \dfrac13\cdot \dfrac{a^2\sqrt3}{4}\cdot \dfrac{a}{2}$

$\Leftrightarrow V_{S.ABC} = \dfrac{a^3\sqrt3}{24}$ 

Bạn xem hình