Cho phương trình $x^{2}$ - 4x + $\frac{c}{d}$ =0 (với phân số c/d tối giản) có hai nghiệm phức. Gọi A,B là hai điểm biểu diễn của hai nghiệm đó trên mặt phẳng Oxy . Biết tam giác OAB đều ( với O là gốc tọa độ), Tính P = c + 2d A:P=18 B:P=-10 C:P=-14 D:P=22

Đáp án:

$D.\ P = 22$ 

Giải thích các bước giải:

$\quad x^2 - 4x + \dfrac cd =0$

Gọi $z_1,\ z_2$ là hai nghiệm phức của phương trình

$\Rightarrow z_1,\ z_2$ là hai số phức liên hợp

Đặt $z_1 = a + bi\quad (a,\ b\in\Bbb R)$

$\Rightarrow z_2 = \overline{z_1} = a - bi$

$\Rightarrow A(a;b),\ B(a;-b)$ lần lượt là hai điểm biểu diễn hai nghiệm phức $z_1, \ z_2$ trên mặt phẳng phức $Oxy$

Áp dụng định lý Viète ta được:

$\begin{cases}z_1 + z_2 = 4\\z_1z_2 = \dfrac cd\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}a + bi + a - bi = 4\\(a + bi)(a - bi) = \dfrac cd\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}2a = 4\\a^2 - b^2i^2 = \dfrac cd\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}a = 2\\a^2  +b^2 = \dfrac cd\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}a = 2\\b^2 + 4 = \dfrac cd\end{cases}$

$\Rightarrow A(2;b),\ B(2;-b)$

Ta lại có: $\triangle OAB$ đều

$\Leftrightarrow OA = AB$

$\Leftrightarrow \sqrt{4 + b^2} = \sqrt{(-2b)^2}$

$\Leftrightarrow 4 + b^2 = 4b^2$

$\Leftrightarrow b^2 = \dfrac43$

Do đó:

$\quad b^2 + 4 = \dfrac cd \Leftrightarrow \dfrac43 + 4 = \dfrac cd$

$\Leftrightarrow \dfrac cd = \dfrac{16}{3}$

mà $\dfrac cd$ là phân số tối giản

nên $c = 16;\ d = 3$

Ta được:

$P = c + 2d = 16 + 2.3 = 22$