Cho phương trình $e^{mcosx-sinx}$ - $e^{2(1-sinx)}$ =$2-sinx-mcosx$ với $m$ là tham số thực . Gọi $S$ là tập tất cả các giá trị của $m$ để phương trình có nghiệm. Khi đó $S$ có dạng $(-∞;a]∪ [b;+∞)$. Tính $T$= $10a+20b$ $A$. $T$=$10\sqrt{3}$ $B$. $T$= $0$ $C$. $T$= $1$ $D$. $T$=$3\sqrt{10}$

Đáp án:

$A.\ T = 10\sqrt3$ 

Giải thích các bước giải:

$\quad e^{\displaystyle{m\cos x - \sin x}} - e^{\displaystyle{2(1-\sin x)}} = 2 - \sin x - m\cos x$

$\Leftrightarrow e^{\displaystyle{m\cos x - \sin x}} + m\cos x - \sin x = e^{\displaystyle{2(1-\sin x)}} + 2(1 - \sin x)\qquad (*)$

Xét $f(t) = e^t + t$

$\Rightarrow f'(t) = e^t + 1 > 0\quad \forall t$

Do đó:

$(*) \Leftrightarrow m\cos x - \sin x = 2(1- \sin x)$

$\Leftrightarrow m\cos x + \sin x = 2$

Phương trình có nghiệm

$\Leftrightarrow m^2 + 1 \geqslant 4$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m \geqslant \sqrt3\\m \leqslant - \sqrt3\end{array}\right.$

hay $m \in \left(-\infty;-\sqrt3\right]\cup \left[\sqrt3;+\infty\right)$

Ta được:

$\begin{cases}a = -\sqrt3\\b = \sqrt3\end{cases}\Rightarrow 10a + 20b = 10\sqrt3$

Vậy $T = 10\sqrt3$