cho p là một số nguyên tố bất kì.chúng minh:8.p-1và 8.p+1 ko đồng thời là số nguyên tố

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Xét 3 số nguyên liên tiếp : 8p – 1; 8p, 8p + 1

Trong ba số nguyên này chắc chắn có 1 số chia hết cho 3.

TH1 : \(p \vdots 3\)

Dễ thấy 8p và 8p + 1 là hợp số.

Hay 8p – 1 và 8p + 1 không nguyên tố cùng nhau.

TH2 : \(p = 3k + 1\left( {k \in {N^*}} \right)\)

Ta có : 8p + 1 = 8 x (3k+1) + 1 = 24k + 9 \( \vdots \) 3

Mà 8p + 1 > 3 nên 8p + 1 là hợp số hay 8p – 1 và 8p + 1 không nguyên tố cùng nhau.

TH 3: \(p = 3k + 2\left( {k \in {N^*}} \right)\)

Ta có : 8p – 1 = 8 x (3k +2) -1 = 24k + 15 \( \vdots \) 3

Mà 24k + 15 > 3 nên 8p – 1 là hợp số hay 8p – 1 và 8p + 1 không nguyên tố cùng nhau.

Vậy 8p – 1 và 8p + 1 không nguyên tố cùng nhau.