Cho một đường tròn tâm (O), đường kính AB (AB = 2R), trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn. Vẽ 2 tiếp tuyến Ax và By với đường tròn. Lấy điểm M bất kì trên nửa đường tròn. Kẻ tiếp tuyến thứ 3 tại M, cắt Ax và By lần lượt tại C và D. a) CMR: ΔOCD vuông và tích AC . BD ko phụ thuộc vào vị trí của M b) AM cắt OC tại E, BM cắt OD tại F. Tứ giác MEOF là hình gì? c) Tứ giác AEFO là hình gì? Tứ giác AEFB là hình gì? d) CMR: EC . EO + FD . FO = R ² e) CM: AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ΔOCD (CÓ VẼ HÌNH NHA MN)

`a)` Vì `Ax` là tiếp tuyến của đường tròn `(O)`

`By` là tiếp tuyến của đường tròn `(O)`

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:

`OC` là tia phân giác của $\widehat{AOM}$

`OD` là tia phân giác của $\widehat{BOM}$

Mà $\widehat{AOM}$ và $\widehat{BOM}$ là hai goác kề bù

$\Rightarrow$ `OC ⊥ OD`

$\Rightarrow$ $\widehat{COD}$ `=` $90^o$

$\Rightarrow$ `ΔCOD` vuông tại `O`

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:

`CM = AC; DM = BB`

$\Rightarrow$ `AC . BD = CM . DM`

Áp dụng hệ thức lượng vào `ΔCOD` vuông tại `O` ta có:

`CM . MD = OM² = R²`

$\Rightarrow$ `AC . BD = R²`

Vậy tích `AC . BD` không phụ thuộc vào vị trí của `M`

`b)` Ta có:

`CM = CA` (cmt)

`OM = OB`(`= R`)

$\Rightarrow$ `OD` là đường trung trực của `BM`

$\Rightarrow$ `OD ⊥ BM`

$\Rightarrow$ $\widehat{OFM}$ `=` $90^o$

Xét tứ giác MEOF có:

$\widehat{OEM}$ `=` $\widehat{EOF}$ `=` $\widehat{OFM}$ `=` $90^o$

$\Rightarrow$ `MEOF` là hình chữ nhật

`c)` Ta có:

`E` là giao điểm `AM` và `OC`

`F` là giao điểm `BM` và `OD`

$\Rightarrow$ `E` là trung điểm của `AM`

$\Rightarrow$ `F` là trung điểm của `MB`

$\Rightarrow$ $EF // AB$, $EF = $ $\dfrac{1}{2}AB$ `=OA`

$\Rightarrow$ $EF // OA$, `EF = OA`

$\Rightarrow$ Tứ giác `AEFO` là hình bình hành

Vì $EF // AB$ nên `AEFB` là hình thang

`d)` Vì `CD` là tiếp điểm của `OM`

$\Rightarrow$ `CD ⊥ OM`

Áp dụng hệ thức lượng vào `ΔOCM` vuông tại `M` đường cao `ME`:

`EC . EO = ME²`

Áp dụng hệ thức lượng vào `ΔOMD` vuông tại `M` đường cao `MF`:

`FD . FO = MF²`

Do đó: `EC . EO + FD . FO = ME² + MF²` `(1)`

Áp dụng định lý Py-ta-go vào `ΔMEF` vuông tại `M`:

`ME²+MF²=Ȳ=AO=R²` `(2)`

Từ `(1)` và `(2)` $\Rightarrow$ `EC . EO + FD . FO = R²` (đpcm)

`e)` Gọi `I` là trung điểm của `CD`

`ΔCOD` vuông tại `O`

$\Rightarrow$ `ΔCOD` nội tiếp đường tròn đường kính `CD`

hay `(I, IO)` ngoại tiếp `ΔCOD` 

Vì `Ax, By` là hai tiếp tuyến của `(O)`

$\Rightarrow$ `Ax ⊥ AB; By ⊥AB`

$\Rightarrow$ $Ax // By` hay $AC // BD$

$\Rightarrow$ Tứ giác `ACDB` là hình thang

Mà `I, O` lần lượt là trung điểm của `CD, AB` 

$\Rightarrow$ `IO` là đường trung bình của hình thang `ACDB`

$\Rightarrow$  $IO // AC$ 

Mà `AC ⊥ AB` 

$\Rightarrow$ `IO⊥AB` tại `O`

$\Rightarrow$ `AB` là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp `ΔCOD` 

$P_{ABDC} = AC + CD + DB + BA$

$P_{ABDC} = MC + DM + CD + 2.R$

$P_{ABDC} = 2.CD + 2.R$

$S_{ABDC} = \dfrac{(AC+BD).AB}{2}=\dfrac{CD.2R}{2}=CD.R$

$\Rightarrow$ $P_{ABDC}$; $S_{ABDC}$ nhỏ nhất

$\Leftrightarrow$ `CD` nhỏ nhất

Mà `ABDC` là hình thang vuông

$\Rightarrow$ `CD ≥ AB`

`CD` nhỏ nhất $\Leftrightarrow$ `CD = AB`

$\Rightarrow$ `ABDC` là hình chữ nhật 

$\Rightarrow$ $AB//CD$

Mà `OM⊥CD` $\Rightarrow$ `OM⊥AB`

$\Rightarrow$ `M` nằm chính giữa $\mathop{AB}\limits^{\displaystyle\frown}$