cho mặt cầu s có r=5 khối tứ diện abcd có tất cả các đỉnh thay đổi và cùng thuộc mặc cầu s sao cho tam giác abc vuông cân tại b và da=db=dc biết thể tích lớn nhất của khối tứ diện abcd là a/b tính a+b

Đáp án:

$a+b=4081$

Giải thích các bước giải:

Kẻ $DG\perp (ABC)\to DG\perp GB, GC, GA$

Mà $DA=DB=DC\to GA=GB=GC\to G$ là trung điểm AC $\to (DAC)\perp (ABC)$

Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ACD\to I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp $DABC$

$\begin{split}\to V_{ABCD}&=\dfrac 13. DG.S_{ABC}\\&=\dfrac 13.(ID+IG).BG^2\\&=\dfrac 13 (5+IG)(IB^2-IG^2)\\&=\dfrac 13 (5+IG)(25-IG^2)\end{split}$

Đặt $IG=x,x\ge 0$

$\to V=\dfrac 13.(5+x)(25-x^2)$

Lại có $y=(5+x)(25-x^2)=-x^3-5x^2+25x+125\to y'=-3x^2-10x+25$

$\to$ Khảo sát hàm số thì $Max y=\dfrac{4000}{27}$ khi $x=\dfrac{5}{3}$

$\to Max V=\dfrac{4000}{81}\to a+b=4081$