cho $log_{4}$(x+y)+ $log_{4}$(x-y)$\geq$ 1 Tìm min của P=2x-y

Điều kiện: $x>y;x>-y\Rightarrow x>|y|$

Từ đó ta có được: 

$\begin{array}{l} {\log _4}\left( {{x^2} - {y^2}} \right) \ge 1 \Rightarrow {x^2} - {y^2} \ge 4\\  \Rightarrow {x^2} \ge {y^2} + 4 \Rightarrow x \ge \sqrt {{y^2} + 4} \left( {do\,x > \left| y \right| \ge 0} \right) \end{array}$

Lại có: 

$P = 2x - y \ge 2\sqrt {{y^2} + 4}  - y \ge 2\sqrt {{y^2} + 4}  - \left| y \right|$

Đặt $t=|y|\ge 0$ ta được:

$P\ge f(t)=2\sqrt{t^2+4}-t$

Xét $f'(t)=0$ ta được:
$\begin{array}{l} f'\left( t \right) = 2.\dfrac{1}{{2\sqrt {{t^2} + 4} }}.\left( {{t^2} + 4} \right)' - 1 = 0\\  \Leftrightarrow \dfrac{{2t}}{{\sqrt {{t^2} + 4} }} - 1 = 0 \Leftrightarrow \sqrt {{t^2} + 4}  = 2t\\  \Leftrightarrow 3{t^2} = 4 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} t = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}\left( {tm} \right)\\ t =  - \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}(L) \end{array} \right. \end{array}$

Lập bảng biến thiên ta được:

Từ bảng biến thiên ta được $\min f(t)=2\sqrt 3$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

$\left[ \begin{array}{l}
x = \dfrac{4}{{\sqrt 3 }};y = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}\\
x = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }};y =  - \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}
\end{array} \right.$