cho $\int\limits^1_0 {x/(x+2)^2} \, dx$ =a+b ㏑2+c ㏑3 với a, b ,c, là các số hữu tỷ. giá thij3a+b+c=?

Đáp án:

\[3a + b + c =  - 1\]

Giải thích các bước giải:

 Ta có:

\(\begin{array}{l}
\int\limits_0^1 {\frac{x}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}dx} \\
 = \int\limits_0^1 {\frac{{\left( {x + 2} \right) - 2}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}dx} \\
 = \int\limits_0^1 {\left( {\frac{1}{{x + 2}} - \frac{2}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}} \right)d\left( {x + 2} \right)} \\
 = \int\limits_0^1 {\frac{{d\left( {x + 2} \right)}}{{x + 2}}}  - \int\limits_0^1 {\frac{{2d\left( {x + 2} \right)}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}} \\
 = \mathop {\left. {\ln \left| {x + 2} \right| + \frac{2}{{x + 2}}} \right|}\nolimits_0^1 \\
 = \ln 3 - \ln 2 + \frac{2}{3} - 1\\
 =  - \frac{1}{3} - \ln 2 + \ln 3\\
 \Rightarrow 3a + b + c =  - 1
\end{array}\)