Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ biết rằng mặt cầu (S) có r=2a tiếp xúc với tất cả các mặt của lăng trụ. Tinh V lăng trụ ?

Gọi M,N,P,M',N',P' lần lượt là trung điểm của AB,BC,AC,A'B',B'C',A'C'

Gọi G;G' là trọng tâm của 2 tam giác ABC và A'B'C'.

Gọi O là trung điểm của GG'; K là trung điểm của MM'

Dễ thấy d(O;(ABC))=d(O;(A'B'C'))=OG

Ta có: CM⊥AA' ; CM⊥ A'B' ⇒CM⊥(ABB'A')

xét trong mặt phẳng (MGM'G') có OK//MG

        ⇒OK⊥(ABA'B') và OK=MG

          ⇒d(O;(ABB'A'))= MG

Tương tự ta CM được:

        d(O;(BCC'B'))=NG

         d(O;(ACC'A'))=PG

Để có mặt cầu tiếp xúc với tất cả các mặt của lăng trụ thì:

          d(O;(ABC))=d(O;(A'B'C'))=d(O;(ABB'A'))=d(O;(BCC'B'))=d(O;(ACC'A'))=2a

 ⇔ MG=NG=PG=OG=2a

 ⇒AA'=2a.2=4a

CM=3MG=6a ⇒ AB=$4\sqrt{3}a$ 

Vậy V=AA'.S(ABC)=AA'.$\frac{1}{2}$ .CM.AB=$48\sqrt{3}a^3$ 

Đáp án:

Gọi M,N,P,M',N',P' lần lượt là trung điểm của AB,BC,AC,A'B',B'C',A'C'

Gọi G;G' là trọng tâm của 2 tam giác ABC và A'B'C'.

Gọi O là trung điểm của GG'; K là trung điểm của MM'

Dễ thấy d(O;(ABC))=d(O;(A'B'C'))=OG

Ta có: CM⊥AA' ; CM⊥ A'B' ⇒CM⊥(ABB'A')

xét trong mặt phẳng (MGM'G') có OK//MG

        ⇒OK⊥(ABA'B') và OK=MG

          ⇒d(O;(ABB'A'))= MG

Tương tự ta CM được:

        d(O;(BCC'B'))=NG

         d(O;(ACC'A'))=PG

Để có mặt cầu tiếp xúc với tất cả các mặt của lăng trụ thì:

          d(O;(ABC))=d(O;(A'B'C'))=d(O;(ABB'A'))=d(O;(BCC'B'))=d(O;(ACC'A'))=2a

 ⇔ MG=NG=PG=OG=2a

 ⇒AA'=2a.2=4a

CM=3MG=6a ⇒ AB=4√3a43a 

Vậy V=AA'.S(ABC)=AA'.1212 .CM.AB=48√3a3483a3

Giải thích các bước giải: